Номер 4.35, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.35. Докажите тождество:

1) $ \frac{x^3}{x^2-4} - \frac{2}{x+2} - \frac{x}{x-2} - x = -1; $

2) $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)}. $

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условиями $x^2 - 4 \neq 0$, $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, что равносильно $x \neq \pm 2$.

Приведем все слагаемые в левой части к общему знаменателю $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$:

$\frac{x^3}{x^2-4} - \frac{2}{x+2} - \frac{x}{x-2} - x = \frac{x^3}{(x-2)(x+2)} - \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{x(x^2-4)}{x^2-4}$

Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:

$\frac{x^3 - 2(x-2) - x(x+2) - x(x^2-4)}{x^2-4} = \frac{x^3 - 2x + 4 - x^2 - 2x - x^3 + 4x}{x^2-4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(x^3 - x^3) - x^2 + (-2x - 2x + 4x) + 4 = -x^2 + 4$

Полученное выражение в числителе можно записать как $-(x^2 - 4)$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{-(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = -1$

Таким образом, левая часть тождества равна $-1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{x^3}{x^2-4} - \frac{2}{x+2} - \frac{x}{x-2} - x = -1$ доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq -1$, $x \neq -2$, $x \neq -3$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+1)(x+2)(x+3)$:

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{(x+2)(x+3)}{x(x+1)(x+2)(x+3)} + \frac{x(x+3)}{x(x+1)(x+2)(x+3)} + \frac{x(x+1)}{x(x+1)(x+2)(x+3)}$

Сложим числители под общей дробной чертой:

$\frac{(x+2)(x+3) + x(x+3) + x(x+1)}{x(x+1)(x+2)(x+3)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$(x^2+3x+2x+6) + (x^2+3x) + (x^2+x) = (x^2+x^2+x^2) + (5x+3x+x) + 6 = 3x^2 + 9x + 6$

Разложим полученный числитель на множители. Сначала вынесем общий множитель 3:

$3(x^2 + 3x + 2)$

Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 2$. Его корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$, поэтому $x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x+1)(x+2)$.

Таким образом, числитель равен $3(x+1)(x+2)$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{3(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)(x+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+1)(x+2)$ (это возможно, так как в ОДЗ $x \neq -1$ и $x \neq -2$):

$\frac{3}{x(x+3)}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)}$ доказано.