Номер 4.28, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.28. 1) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}};$

2) $\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{14 - 6\sqrt{5}};$

3) $\sqrt{28 + 10\sqrt{3}} - \sqrt{28 - 10\sqrt{3}};$

4) $\sqrt{5 + \sqrt{24}} - \sqrt{7 + \sqrt{48}}.$

1) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} $, воспользуемся формулой $ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $ для представления подкоренных выражений в виде полных квадратов.Рассмотрим $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} $. Представим $ 4\sqrt{3} $ в виде $ 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} $. Ищем два числа $a$ и $b$ такие, что $ a^2+b^2 = 7 $ и $ 2ab = 4\sqrt{3} $. Попробуем $ a=2 $ и $ b=\sqrt{3} $. Проверяем: $ a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7 $. Это верно.Следовательно, $ 7 + 4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2 $.Тогда $ \sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3} $.Аналогично для $ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} $: $ 7 - 4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2 $.Тогда $ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}| $. Поскольку $ 2=\sqrt{4} > \sqrt{3} $, выражение $ 2-\sqrt{3} $ положительно, и модуль можно опустить: $ 2-\sqrt{3} $.Сложим полученные результаты: $ (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3} = 4 $.Ответ: 4

2) Рассмотрим выражение $ \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} $. Преобразуем подкоренные выражения.Сначала представим $ 6\sqrt{5} $ в виде $ 2 \cdot 3\sqrt{5} = 2\sqrt{9 \cdot 5} = 2\sqrt{45} $.Теперь выражение $ \sqrt{14 + 2\sqrt{45}} $ можно упростить, найдя два числа, сумма которых равна 14, а произведение — 45. Это числа 9 и 5.Таким образом, $ 14 + 6\sqrt{5} = 9 + 2\sqrt{45} + 5 = (\sqrt{9}+\sqrt{5})^2 = (3+\sqrt{5})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = 3+\sqrt{5} $.Аналогично, $ 14 - 6\sqrt{5} = (3-\sqrt{5})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = |3-\sqrt{5}| $. Поскольку $ 3=\sqrt{9} > \sqrt{5} $, выражение $ 3-\sqrt{5} $ положительно, и $ |3-\sqrt{5}| = 3-\sqrt{5} $.Выполним вычитание: $ (3+\sqrt{5}) - (3-\sqrt{5}) = 3+\sqrt{5}-3+\sqrt{5} = 2\sqrt{5} $.Ответ: $ 2\sqrt{5} $

3) Рассмотрим выражение $ \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} - \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} $. Преобразуем подкоренные выражения.Сначала представим $ 10\sqrt{3} $ в виде $ 2 \cdot 5\sqrt{3} = 2\sqrt{25 \cdot 3} = 2\sqrt{75} $.Теперь выражение $ \sqrt{28 + 2\sqrt{75}} $ можно упростить, найдя два числа, сумма которых равна 28, а произведение — 75. Это числа 25 и 3.Таким образом, $ 28 + 10\sqrt{3} = 25 + 2\sqrt{75} + 3 = (\sqrt{25}+\sqrt{3})^2 = (5+\sqrt{3})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = \sqrt{(5+\sqrt{3})^2} = 5+\sqrt{3} $.Аналогично, $ 28 - 10\sqrt{3} = (5-\sqrt{3})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = \sqrt{(5-\sqrt{3})^2} = |5-\sqrt{3}| $. Поскольку $ 5=\sqrt{25} > \sqrt{3} $, выражение $ 5-\sqrt{3} $ положительно, и $ |5-\sqrt{3}| = 5-\sqrt{3} $.Выполним вычитание: $ (5+\sqrt{3}) - (5-\sqrt{3}) = 5+\sqrt{3}-5+\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $.Ответ: $ 2\sqrt{3} $

4) Рассмотрим выражение $ \sqrt{5 + \sqrt{24}} - \sqrt{7 + \sqrt{48}} $. Упростим каждый член по отдельности.Для первого члена $ \sqrt{5 + \sqrt{24}} $:$ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $.Выражение становится $ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} $. Ищем два числа, сумма которых равна 5, а произведение 6. Это числа 3 и 2.Значит, $ 5+2\sqrt{6} = 3+2\sqrt{6}+2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2} $.Для второго члена $ \sqrt{7 + \sqrt{48}} $:$ \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{12} $.Выражение становится $ \sqrt{7 + 2\sqrt{12}} $. Ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение 12. Это числа 4 и 3.Значит, $ 7+2\sqrt{12} = 4+2\sqrt{12}+3 = (\sqrt{4}+\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{7 + \sqrt{48}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3} $.Теперь выполним вычитание: $ (\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (2+\sqrt{3}) = \sqrt{3}+\sqrt{2}-2-\sqrt{3} = \sqrt{2}-2 $.Ответ: $ \sqrt{2}-2 $