Номер 4.27, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представив подкоренные выражения в виде полного квадрата, упростите выражения (4.27–4.28):

4.27. 1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ ; 2) $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$ ; 3) $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$ ; 4) $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$ .

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$, представим подкоренное выражение $4 + 2\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Используем формулу для сложных радикалов $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}$, где $C=\sqrt{A^2-B}$. В нашем случае $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{4 + \sqrt{12}}$. Здесь $A=4, B=12$. $C = \sqrt{4^2 - 12} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4}=2$. Тогда $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4+2}{2}} + \sqrt{\frac{4-2}{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{1} = \sqrt{3} + 1$.Другой способ — подобрать числа. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=4$ и $2ab = 2\sqrt{3}$ (т.е. $ab=\sqrt{3}$). Подходят числа $a=\sqrt{3}$ и $b=1$. Тогда $4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{3}+1)^2$.Следовательно, $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = |\sqrt{3}+1| = \sqrt{3}+1$.
Ответ: $\sqrt{3} + 1$.

2) Чтобы упростить выражение $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Сначала преобразуем его так, чтобы перед внутренним корнем стояла двойка: $9 + 4\sqrt{5} = 9 + 2 \cdot 2\sqrt{5} = 9 + 2\sqrt{4 \cdot 5} = 9 + 2\sqrt{20}$.Теперь ищем два числа $a$ и $b$ такие, что их сумма квадратов $a^2+b^2=9$, а их произведение $ab=\sqrt{20}$. Это эквивалентно поиску двух чисел, сумма которых равна 9, а произведение — 20. Это числа 5 и 4.Пусть $a^2=5$ и $b^2=4$, тогда $a=\sqrt{5}$ и $b=2$.Проверяем: $(\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.Значит, $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+2)^2} = |\sqrt{5}+2| = \sqrt{5}+2$.
Ответ: $\sqrt{5} + 2$.

3) Чтобы упростить выражение $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$, представим подкоренное выражение $10 - 2\sqrt{21}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.Ищем два числа $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=10$ и $2ab=2\sqrt{21}$ (т.е. $ab=\sqrt{21}$). Это эквивалентно поиску двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение — 21. Это числа 7 и 3.Пусть $a^2=7$ и $b^2=3$, тогда $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{3}$.Проверяем: $(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}$.Значит, $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{7}-\sqrt{3}|$.Так как $7>3$, то $\sqrt{7}>\sqrt{3}$, поэтому $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ — положительное число, и модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{3}$.

4) Чтобы упростить выражение $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Преобразуем его: $11 - 4\sqrt{7} = 11 - 2 \cdot 2\sqrt{7} = 11 - 2\sqrt{4 \cdot 7} = 11 - 2\sqrt{28}$.Ищем два числа, сумма которых равна 11, а произведение — 28. Это числа 7 и 4.Пусть $a^2=7$ и $b^2=4$, тогда $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{4}=2$.Проверяем: $(\sqrt{7}-2)^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = 11 - 4\sqrt{7}$.Значит, $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = |\sqrt{7}-2|$.Сравним $\sqrt{7}$ и 2. Так как $7 > 4$, то $\sqrt{7} > \sqrt{4}=2$. Следовательно, разность $\sqrt{7}-2$ положительна, и модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{7} - 2$.