Номер 4.33, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.33. Упростите выражение:

1) $\sqrt{\frac{36}{49 \cdot 144}}$;2) $\sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 676}};

3) $\sqrt{\frac{169x^6}{81y^8}}$ при $x \ge 0$;4) $\sqrt{\frac{441a^8}{196x^{30}}}$ при $x \ge 0$.

1) Для упрощения выражения $ \sqrt{\frac{36}{49 \cdot 144}} $ воспользуемся свойствами квадратного корня: корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $, а корень из произведения равен произведению корней $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
$ \sqrt{\frac{36}{49 \cdot 144}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49 \cdot 144}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49} \cdot \sqrt{144}} $.
Теперь вычислим значения корней из чисел, которые являются полными квадратами: $ \sqrt{36} = 6 $, $ \sqrt{49} = 7 $, $ \sqrt{144} = 12 $.
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$ \frac{6}{7 \cdot 12} = \frac{6}{84} $.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{6:6}{84:6} = \frac{1}{14} $.
Ответ: $ \frac{1}{14} $.

2) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 676}} $, используя те же свойства квадратного корня.
$ \sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 676}} = \frac{\sqrt{121 \cdot 256}}{\sqrt{25 \cdot 676}} = \frac{\sqrt{121} \cdot \sqrt{256}}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{676}} $.
Вычислим значения корней: $ \sqrt{121} = 11 $, $ \sqrt{256} = 16 $, $ \sqrt{25} = 5 $, $ \sqrt{676} = 26 $.
Подставим значения в выражение:
$ \frac{11 \cdot 16}{5 \cdot 26} = \frac{176}{130} $.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$ \frac{176 : 2}{130 : 2} = \frac{88}{65} $.
Ответ: $ \frac{88}{65} $.

3) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{169x^6}{81y^8}} $ при условии $ x \ge 0 $.
Используем свойства корней:
$ \sqrt{\frac{169x^6}{81y^8}} = \frac{\sqrt{169x^6}}{\sqrt{81y^8}} = \frac{\sqrt{169} \cdot \sqrt{x^6}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{y^8}} $.
Вычислим числовые корни: $ \sqrt{169} = 13 $, $ \sqrt{81} = 9 $.
Теперь упростим корни с переменными, используя свойство $ \sqrt{a^{2n}} = |a^n| $.
$ \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3| $. Поскольку по условию $ x \ge 0 $, то $ x^3 $ также будет неотрицательным ($ x^3 \ge 0 $), и, следовательно, модуль можно опустить: $ |x^3| = x^3 $.
$ \sqrt{y^8} = \sqrt{(y^4)^2} = |y^4| $. Выражение $ y^4 $ всегда неотрицательно ($ y^4 \ge 0 $) для любого действительного значения $ y $, поэтому $ |y^4| = y^4 $.
Соберем все части вместе. Следует учесть, что знаменатель исходного выражения не может быть равен нулю, поэтому $ y \neq 0 $.
$ \frac{13x^3}{9y^4} $.
Ответ: $ \frac{13x^3}{9y^4} $.

4) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{441a^8}{196x^{30}}} $ при условии $ a \ge 0 $.
Применяем свойства корней:
$ \sqrt{\frac{441a^8}{196x^{30}}} = \frac{\sqrt{441a^8}}{\sqrt{196x^{30}}} = \frac{\sqrt{441} \cdot \sqrt{a^8}}{\sqrt{196} \cdot \sqrt{x^{30}}} $.
Вычислим числовые корни: $ \sqrt{441} = 21 $, $ \sqrt{196} = 14 $.
Упростим корни с переменными:
$ \sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4| $. Так как степень 4 четная, $ a^4 $ всегда неотрицательно, поэтому $ |a^4| = a^4 $. В данном случае условие $ a \ge 0 $ является избыточным.
$ \sqrt{x^{30}} = \sqrt{(x^{15})^2} = |x^{15}| $. Поскольку на переменную $ x $ не дано ограничений по знаку, а степень 15 нечетная, знак $ x^{15} $ зависит от знака $ x $, поэтому необходимо оставить знак модуля.
Подставляем все в выражение. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $ x \neq 0 $.
$ \frac{21a^4}{14|x^{15}|} $.
Сократим числовой коэффициент $ \frac{21}{14} $, разделив числитель и знаменатель на 7: $ \frac{21:7}{14:7} = \frac{3}{2} $.
Итоговое выражение: $ \frac{3a^4}{2|x^{15}|} $.
Ответ: $ \frac{3a^4}{2|x^{15}|} $.