Номер 4.32, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.32. Выполните действия:

1) $\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{-x}} + \sqrt{-y};$

2) $\frac{x + \sqrt{yx}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - 2\sqrt{x};$

3) $\frac{\sqrt{ac} - c}{\sqrt{-c}} - \sqrt{a};$

4) $\frac{a-c}{\sqrt{-a}-\sqrt{-c}}.$

1) $\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{-x}} + \sqrt{-y}$

Для того чтобы выражение имело смысл в действительных числах, должны выполняться следующие условия:

1. Подрадикальное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $xy \ge 0$.

2. Подрадикальное выражение в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень в знаменателе): $-x > 0$, что означает $x < 0$.

3. Подрадикальное выражение у второго слагаемого должно быть неотрицательным: $-y \ge 0$, что означает $y \le 0$.

Если $x < 0$ и $y \le 0$, то их произведение $xy \ge 0$. Таким образом, все условия выполняются при $x < 0$ и $y \le 0$.

Преобразуем выражение, используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$. Так как $x < 0$ и $y \le 0$, то $-x > 0$ и $-y \ge 0$. Представим $xy$ как $(-x)(-y)$:

$\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{-x}} + \sqrt{-y} = \frac{\sqrt{(-x)(-y)}}{\sqrt{-x}} + \sqrt{-y} = \frac{\sqrt{-x}\sqrt{-y}}{\sqrt{-x}} + \sqrt{-y}$

Сокращаем дробь на $\sqrt{-x}$:

$\sqrt{-y} + \sqrt{-y} = 2\sqrt{-y}$

Ответ: $2\sqrt{-y}$

2) $\frac{x + \sqrt{yx}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - 2\sqrt{x}$

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю. $x \ge 0$, $y \ge 0$. Знаменатель $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ равен нулю только если $x=0$ и $y=0$ одновременно, что мы исключаем.

Преобразуем числитель дроби. Представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$ и $\sqrt{yx}$ как $\sqrt{y}\sqrt{x}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:

$x + \sqrt{yx} = (\sqrt{x})^2 + \sqrt{y}\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в выражение:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - 2\sqrt{x}$

Сократим дробь на $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$:

$\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = -\sqrt{x}$

Ответ: $-\sqrt{x}$

3) $\frac{\sqrt{ac}-c}{\sqrt{-c}} - \sqrt{a}$

Определим область допустимых значений. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю.

1. $\sqrt{a}$ определен при $a \ge 0$.

2. $\sqrt{-c}$ в знаменателе определен при $-c > 0$, то есть $c < 0$.

3. $\sqrt{ac}$ определен при $ac \ge 0$.

Из условий $a \ge 0$ и $c < 0$ следует, что их произведение $ac \le 0$. Чтобы одновременно выполнялись условия $ac \ge 0$ и $ac \le 0$, необходимо, чтобы $ac = 0$. Так как $c < 0$, это возможно только если $a = 0$.

Таким образом, выражение имеет смысл только при $a=0$ и $c < 0$. Подставим $a=0$ в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{0 \cdot c}-c}{\sqrt{-c}} - \sqrt{0} = \frac{\sqrt{0}-c}{\sqrt{-c}} - 0 = \frac{-c}{\sqrt{-c}}$

Так как $c < 0$, то $-c > 0$. Мы можем представить $-c$ как $(\sqrt{-c})^2$:

$\frac{(\sqrt{-c})^2}{\sqrt{-c}} = \sqrt{-c}$

Ответ: $\sqrt{-c}$

4) $\frac{a-c}{\sqrt{-a}-\sqrt{-c}}$

Определим область допустимых значений. Подрадикальные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатель не равен нулю.

1. $-a \ge 0 \implies a \le 0$.

2. $-c \ge 0 \implies c \le 0$.

3. $\sqrt{-a} - \sqrt{-c} \ne 0 \implies \sqrt{-a} \ne \sqrt{-c} \implies -a \ne -c \implies a \ne c$.

Итак, $a \le 0$, $c \le 0$ и $a \ne c$.

Преобразуем числитель. Так как $a \le 0$ и $c \le 0$, то $-a \ge 0$ и $-c \ge 0$. Мы можем записать:

$a = -(-a) = -(\sqrt{-a})^2$

$c = -(-c) = -(\sqrt{-c})^2$

Подставим это в числитель:

$a - c = -(\sqrt{-a})^2 - (-(\sqrt{-c})^2) = (\sqrt{-c})^2 - (\sqrt{-a})^2$

Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:

$(\sqrt{-c})^2 - (\sqrt{-a})^2 = (\sqrt{-c} - \sqrt{-a})(\sqrt{-c} + \sqrt{-a})$

Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt{-c} - \sqrt{-a})(\sqrt{-c} + \sqrt{-a})}{\sqrt{-a}-\sqrt{-c}}$

Заметим, что знаменатель $\sqrt{-a}-\sqrt{-c} = -(\sqrt{-c}-\sqrt{-a})$.

$\frac{(\sqrt{-c} - \sqrt{-a})(\sqrt{-c} + \sqrt{-a})}{-(\sqrt{-c}-\sqrt{-a})}$

Сократим дробь на $(\sqrt{-c}-\sqrt{-a})$, так как $a \ne c$:

$-(\sqrt{-c} + \sqrt{-a}) = -\sqrt{-a} - \sqrt{-c}$

Ответ: $-\sqrt{-a} - \sqrt{-c}$