Номер 4.30, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.30. Выполните действия:

1) $\frac{a - c}{a - \sqrt{2a}} \cdot \frac{a - 2}{\sqrt{a} - \sqrt{c}} \cdot \left(\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{a} + \sqrt{2}}\right);$

2) $\left(\frac{a^2}{2} - \frac{a}{\sqrt{2}} + 1\right) \cdot \left(\frac{a^2}{2} + \frac{a}{\sqrt{2}} + 1\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{a^4 + 2a^2 + 4};$

3) $\frac{x + 2\sqrt{3}}{3x - 3\sqrt{3}} - \frac{3y - x}{2x - 2y} + \frac{x^2 - y\sqrt{3}}{x^2 - xy + y\sqrt{3} - x\sqrt{3}};$

4) $\left(\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c} + \sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c} - \sqrt{a}} + \frac{2\sqrt{ac}}{c - a}\right) \cdot \left(\sqrt{c} - \frac{\sqrt{ac} + a}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}\right).$

1)

Преобразуем каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $\frac{a-c}{a-\sqrt{2a}} = \frac{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{2})}$.

Второй множитель: $\frac{a-2}{\sqrt{a}-\sqrt{c}} = \frac{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{2})^2}{\sqrt{a}-\sqrt{c}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{2})(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{\sqrt{a}-\sqrt{c}}$.

Третий множитель (выражение в скобках): $\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{a}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{2}) - \sqrt{2a}}{\sqrt{a}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2a}+2-\sqrt{2a}}{\sqrt{a}+\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{2}}$.

Теперь перемножим преобразованные выражения:

$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{2})} \cdot \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{2})(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{\sqrt{a}-\sqrt{c}} \cdot \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{2}}$

Сократим общие множители в числителях и знаменателях: $(\sqrt{a}-\sqrt{c})$, $(\sqrt{a}-\sqrt{2})$ и $(\sqrt{a}+\sqrt{2})$.

$\frac{\sout{(\sqrt{a}-\sqrt{c})}(\sqrt{a}+\sqrt{c})}{\sqrt{a}\sout{(\sqrt{a}-\sqrt{2})}} \cdot \frac{\sout{(\sqrt{a}-\sqrt{2})}\sout{(\sqrt{a}+\sqrt{2})}}{\sout{\sqrt{a}-\sqrt{c}}} \cdot \frac{2}{\sout{\sqrt{a}+\sqrt{2}}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{c}) \cdot 2}{\sqrt{a}} = \frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{c})}{\sqrt{a}}$.

Ответ: $\frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{c})}{\sqrt{a}}$

2)

Рассмотрим произведение первых двух скобок. Перегруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$(\frac{a^2}{2} - \frac{a}{\sqrt{2}} + 1) \cdot (\frac{a^2}{2} + \frac{a}{\sqrt{2}} + 1) = ((\frac{a^2}{2}+1) - \frac{a}{\sqrt{2}}) \cdot ((\frac{a^2}{2}+1) + \frac{a}{\sqrt{2}})$

$= (\frac{a^2}{2}+1)^2 - (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = (\frac{a^4}{4} + 2 \cdot \frac{a^2}{2} + 1) - \frac{a^2}{2} = \frac{a^4}{4} + a^2 + 1 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^4}{4} + \frac{a^2}{2} + 1$.

Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$\frac{a^4}{4} + \frac{2a^2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{a^4+2a^2+4}{4}$.

Теперь умножим результат на третий множитель:

$\frac{a^4+2a^2+4}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{a^4+2a^2+4}$.

Сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе:

$\frac{\sout{a^4+2a^2+4}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sout{a^4+2a^2+4}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

3)

Разложим на множители знаменатели дробей:

$3x-3\sqrt{3} = 3(x-\sqrt{3})$.

$2x-2y = 2(x-y)$.

$x^2-xy+y\sqrt{3}-x\sqrt{3} = x(x-y) - \sqrt{3}(x-y) = (x-y)(x-\sqrt{3})$.

Выражение принимает вид:

$\frac{x+2\sqrt{3}}{3(x-\sqrt{3})} - \frac{3y-x}{2(x-y)} + \frac{x^2-y\sqrt{3}}{(x-y)(x-\sqrt{3})}$.

Общий знаменатель: $6(x-y)(x-\sqrt{3})$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2(x-y)(x+2\sqrt{3}) - 3(x-\sqrt{3})(3y-x) + 6(x^2-y\sqrt{3})}{6(x-y)(x-\sqrt{3})}$.

Раскроем скобки в числителе:

$2(x^2+2\sqrt{3}x-xy-2\sqrt{3}y) - 3(3xy-x^2-3\sqrt{3}y+x\sqrt{3}) + 6x^2-6y\sqrt{3}$

$= 2x^2+4\sqrt{3}x-2xy-4\sqrt{3}y - 9xy+3x^2+9\sqrt{3}y-3x\sqrt{3} + 6x^2-6y\sqrt{3}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(2x^2+3x^2+6x^2) + (-2xy-9xy) + (4\sqrt{3}x-3x\sqrt{3}) + (-4\sqrt{3}y+9\sqrt{3}y-6y\sqrt{3})$

$= 11x^2 - 11xy + \sqrt{3}x - \sqrt{3}y$.

Разложим числитель на множители: $11x(x-y) + \sqrt{3}(x-y) = (11x+\sqrt{3})(x-y)$.

Подставим в дробь: $\frac{(11x+\sqrt{3})(x-y)}{6(x-y)(x-\sqrt{3})}$.

Сократим на $(x-y)$: $\frac{11x+\sqrt{3}}{6(x-\sqrt{3})}$.

Ответ: $\frac{11x+\sqrt{3}}{6(x-\sqrt{3})}$

4)

Сначала упростим выражение в первой скобке. Общий знаменатель $c-a = (\sqrt{c}-\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{a})$.

$\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}-\sqrt{a}} + \frac{2\sqrt{ac}}{c-a} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{a}) + \sqrt{a}(\sqrt{c}+\sqrt{a}) + 2\sqrt{ac}}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{c}-\sqrt{a})}$

$= \frac{c-\sqrt{ac}+\sqrt{ac}+a+2\sqrt{ac}}{c-a} = \frac{c+a+2\sqrt{ac}}{c-a}$.

Числитель является полным квадратом: $c+a+2\sqrt{ac} = (\sqrt{c}+\sqrt{a})^2$.

Тогда первая скобка равна: $\frac{(\sqrt{c}+\sqrt{a})^2}{(\sqrt{c}-\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{a})} = \frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{c}-\sqrt{a}}$.

Теперь упростим выражение во второй скобке.

$\sqrt{c} - \frac{\sqrt{ac}+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}+\sqrt{a}) - (\sqrt{ac}+a)}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} = \frac{c+\sqrt{ac}-\sqrt{ac}-a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} = \frac{c-a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$.

Так как $c-a=(\sqrt{c}-\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{a})$, вторая скобка равна: $\frac{(\sqrt{c}-\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} = \sqrt{c}-\sqrt{a}$.

Перемножим результаты:

$\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{c}-\sqrt{a}} \cdot (\sqrt{c}-\sqrt{a}) = \sqrt{c}+\sqrt{a}$.

Ответ: $\sqrt{c}+\sqrt{a}$