Номер 4.25, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.25. Упростите выражение:

1) $a - 3 + \sqrt{6a + \sqrt{a^4 + 18a^2 + 81}}$ при $a \ge -3;$

2) $2x - 1 + \sqrt{10x + 22 + \sqrt{x^4 + 6x^2 + 9}}$ при $x \ge -5;$

3) $\frac{a + 2\sqrt{a} + 1}{a - 1} + \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1};$

4) $\frac{a^2 + a\sqrt{2}}{a^2 + 2} \cdot \left(\frac{a}{a - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{a + \sqrt{2}}\right);$

5) $\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\right) \cdot \frac{x - y}{x^2 + xy};$

6) $\left(\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} + 4\sqrt{a}\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{a}{4}} - \frac{1}{\sqrt{4a}}\right).$

1) Рассмотрим выражение под самым внутренним корнем: $a^4 + 18a^2 + 81$. Это полный квадрат суммы: $(a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 9 + 9^2 = (a^2 + 9)^2$.
Тогда $\sqrt{a^4 + 18a^2 + 81} = \sqrt{(a^2 + 9)^2} = |a^2 + 9|$. Так как $a^2 \geq 0$, то $a^2 + 9$ всегда положительно, следовательно, $|a^2 + 9| = a^2 + 9$.
Подставим это обратно в исходное выражение: $a - 3 + \sqrt{6a + (a^2 + 9)} = a - 3 + \sqrt{a^2 + 6a + 9}$.
Выражение под оставшимся корнем $a^2 + 6a + 9$ также является полным квадратом: $(a + 3)^2$.
Получаем: $a - 3 + \sqrt{(a + 3)^2} = a - 3 + |a + 3|$.
По условию $a \geq -3$, значит $a + 3 \geq 0$, и $|a + 3| = a + 3$.
Окончательно упрощаем: $a - 3 + (a + 3) = a - 3 + a + 3 = 2a$.
Ответ: $2a$.

2) Упростим выражение под самым внутренним корнем: $x^4 + 6x^2 + 9$. Это полный квадрат суммы: $(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = (x^2 + 3)^2$.
Следовательно, $\sqrt{x^4 + 6x^2 + 9} = \sqrt{(x^2 + 3)^2} = |x^2 + 3|$. Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 3 > 0$, и $|x^2 + 3| = x^2 + 3$.
Подставляем в выражение: $2x - 1 + \sqrt{10x + 22 + (x^2 + 3)} = 2x - 1 + \sqrt{x^2 + 10x + 25}$.
Выражение под корнем $x^2 + 10x + 25$ является полным квадратом: $(x + 5)^2$.
Получаем: $2x - 1 + \sqrt{(x + 5)^2} = 2x - 1 + |x + 5|$.
По условию $x \geq -5$, значит $x + 5 \geq 0$, и $|x + 5| = x + 5$.
Упрощаем: $2x - 1 + (x + 5) = 2x - 1 + x + 5 = 3x + 4$.
Ответ: $3x + 4$.

3) Преобразуем первое слагаемое. Числитель $a + 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} + 1)^2$. Знаменатель $a - 1 = (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)$ (разность квадратов). Область допустимых значений: $a \geq 0, a \neq 1$.
Таким образом, $\frac{a + 2\sqrt{a} + 1}{a - 1} = \frac{(\sqrt{a} + 1)^2}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}$.
Теперь сложим дроби: $\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}$.
Так как знаменатели одинаковы, складываем числители: $\frac{\sqrt{a} + 1 + 2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} = \frac{3\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}$.

4) Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2}) = a^2 - 2$.
$\frac{a}{a - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{a + \sqrt{2}} = \frac{a(a + \sqrt{2}) - \sqrt{2}(a - \sqrt{2})}{(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2})} = \frac{a^2 + a\sqrt{2} - a\sqrt{2} + 2}{a^2 - 2} = \frac{a^2 + 2}{a^2 - 2}$.
Теперь умножим на первую дробь: $\frac{a^2 + a\sqrt{2}}{a^2 + 2} \cdot \frac{a^2 + 2}{a^2 - 2}$.
Сокращаем $(a^2 + 2)$: $\frac{a^2 + a\sqrt{2}}{a^2 - 2}$.
Вынесем общий множитель в числителе и разложим знаменатель на множители: $\frac{a(a + \sqrt{2})}{(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2})}$.
Сокращаем $(a + \sqrt{2})$: $\frac{a}{a - \sqrt{2}}$.
Ответ: $\frac{a}{a - \sqrt{2}}$.

5) Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель: $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x - y$.
$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) - \sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y} = \frac{x + \sqrt{xy} - \sqrt{xy} + y}{x - y} = \frac{x + y}{x - y}$.
Теперь умножим на вторую дробь: $\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x - y}{x^2 + xy}$.
Сокращаем $(x - y)$: $\frac{x + y}{x^2 + xy}$.
Вынесем $x$ в знаменателе: $\frac{x + y}{x(x + y)}$.
Сокращаем $(x + y)$: $\frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{x}$.

6) Упростим выражение в первой скобке. Сначала разность дробей:
$\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a} + 1)^2 - (\sqrt{a} - 1)^2}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \frac{(a + 2\sqrt{a} + 1) - (a - 2\sqrt{a} + 1)}{a - 1} = \frac{4\sqrt{a}}{a - 1}$.
Теперь добавим $4\sqrt{a}$: $\frac{4\sqrt{a}}{a - 1} + 4\sqrt{a} = \frac{4\sqrt{a} + 4\sqrt{a}(a - 1)}{a - 1} = \frac{4\sqrt{a} + 4a\sqrt{a} - 4\sqrt{a}}{a - 1} = \frac{4a\sqrt{a}}{a - 1}$.
Упростим вторую скобку: $\sqrt{\frac{a}{4}} - \frac{1}{\sqrt{4a}} = \frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} - 1}{2\sqrt{a}} = \frac{a - 1}{2\sqrt{a}}$.
Перемножим результаты: $\frac{4a\sqrt{a}}{a - 1} \cdot \frac{a - 1}{2\sqrt{a}}$.
Сокращаем $(a-1)$ и $\sqrt{a}$: $\frac{4a}{2} = 2a$.
Ответ: $2a$.