Номер 4.19, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.19. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(a+1)^2 - 4a}$;

2) $\sqrt{(a-3)^2 + 12a}$;

3) $\sqrt{(a-2)^2 + 8a}$;

4) $\sqrt{(2a+3)^2 - 24a}$.

1) Сначала упростим выражение под корнем. Для этого раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, а затем приведем подобные слагаемые:
$\sqrt{(a+1)^2 - 4a} = \sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2) - 4a} = \sqrt{a^2 + 2a + 1 - 4a} = \sqrt{a^2 - 2a + 1}$.
Выражение под корнем $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$:
$\sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a-1)^2}$.
Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Применяя это свойство, получаем:
$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$.
Ответ: $|a-1|$

2) Упростим выражение под корнем. Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$ и приведем подобные слагаемые:
$\sqrt{(a-3)^2 + 12a} = \sqrt{(a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) + 12a} = \sqrt{a^2 - 6a + 9 + 12a} = \sqrt{a^2 + 6a + 9}$.
Выражение под корнем $a^2 + 6a + 9$ представляет собой полный квадрат суммы. Свернем его по формуле $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$:
$\sqrt{a^2 + 6a + 9} = \sqrt{(a+3)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем окончательный результат:
$\sqrt{(a+3)^2} = |a+3|$.
Ответ: $|a+3|$

3) Упростим подкоренное выражение. Раскроем квадрат разности и приведем подобные члены:
$\sqrt{(a-2)^2 + 8a} = \sqrt{(a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2) + 8a} = \sqrt{a^2 - 4a + 4 + 8a} = \sqrt{a^2 + 4a + 4}$.
Подкоренное выражение $a^2 + 4a + 4$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$:
$\sqrt{a^2 + 4a + 4} = \sqrt{(a+2)^2}$.
По свойству корня $\sqrt{x^2} = |x|$, имеем:
$\sqrt{(a+2)^2} = |a+2|$.
Ответ: $|a+2|$

4) Упростим выражение под корнем. Раскроем квадрат суммы и приведем подобные слагаемые:
$\sqrt{(2a+3)^2 - 24a} = \sqrt{((2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2) - 24a} = \sqrt{4a^2 + 12a + 9 - 24a} = \sqrt{4a^2 - 12a + 9}$.
Выражение $4a^2 - 12a + 9$ является полным квадратом разности, так как $(2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot 3 + 3^2 = (2a-3)^2$.
$\sqrt{4a^2 - 12a + 9} = \sqrt{(2a-3)^2}$.
Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{(2a-3)^2} = |2a-3|$.
Ответ: $|2a-3|$