Номер 4.15, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби (4.15—4.17):

4.15. 1) $ \frac{5a}{\sqrt{5}} $; 2) $ \frac{3 + 3\sqrt{a}}{\sqrt{a}} $; 3) $ \frac{15c}{\sqrt{3}} $; 4) $ \frac{5a}{\sqrt{5} - 1} $; 5) $ \frac{3a}{\sqrt{5} - \sqrt{a}} $; 6) $ \frac{7}{1 + \sqrt{3}} $.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5a}{\sqrt{5}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $ \sqrt{5} $.
$ \frac{5a}{\sqrt{5}} = \frac{5a \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5a\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{5a\sqrt{5}}{5} $.
Сократим дробь на 5:
$ \frac{5a\sqrt{5}}{5} = a\sqrt{5} $.
Ответ: $ a\sqrt{5} $.

2) Для дроби $ \frac{3 + 3\sqrt{a}}{\sqrt{a}} $ умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{a} $. При этом область допустимых значений $ a > 0 $.
$ \frac{3 + 3\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{(3 + 3\sqrt{a}) \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{3 \cdot \sqrt{a} + 3\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{a} = \frac{3\sqrt{a} + 3a}{a} $.
Можно вынести общий множитель 3 в числителе: $ \frac{3(\sqrt{a} + a)}{a} $.
Ответ: $ \frac{3a + 3\sqrt{a}}{a} $.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{15c}{\sqrt{3}} $, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $.
$ \frac{15c}{\sqrt{3}} = \frac{15c \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{15c\sqrt{3}}{3} $.
Сократим дробь на 3:
$ \frac{15c\sqrt{3}}{3} = 5c\sqrt{3} $.
Ответ: $ 5c\sqrt{3} $.

4) В знаменателе дроби $ \frac{5a}{\sqrt{5} - 1} $ находится разность. Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{5} + 1 $, используя формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.
$ \frac{5a}{\sqrt{5} - 1} = \frac{5a \cdot (\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{5a(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{5a(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{5a(\sqrt{5} + 1)}{4} $.
Ответ: $ \frac{5a(\sqrt{5} + 1)}{4} $.

5) В знаменателе дроби $ \frac{3a}{\sqrt{5} - \sqrt{a}} $ находится разность корней. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{5} + \sqrt{a} $. Область допустимых значений: $ a \ge 0 $ и $ a \neq 5 $.
$ \frac{3a}{\sqrt{5} - \sqrt{a}} = \frac{3a \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{a})}{(\sqrt{5} - \sqrt{a})(\sqrt{5} + \sqrt{a})} = \frac{3a(\sqrt{5} + \sqrt{a})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{3a(\sqrt{5} + \sqrt{a})}{5 - a} $.
Ответ: $ \frac{3a(\sqrt{5} + \sqrt{a})}{5 - a} $.

6) В знаменателе дроби $ \frac{7}{1 + \sqrt{3}} $ находится сумма. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ 1 - \sqrt{3} $.
$ \frac{7}{1 + \sqrt{3}} = \frac{7 \cdot (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{7(1 - \sqrt{3})}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{7(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{7(1 - \sqrt{3})}{-2} $.
Чтобы избавиться от знака минус в знаменателе, изменим знак числителя:
$ \frac{7(1 - \sqrt{3})}{-2} = \frac{-(7(1 - \sqrt{3}))}{2} = \frac{7(\sqrt{3} - 1)}{2} $.
Ответ: $ \frac{7(\sqrt{3} - 1)}{2} $.