Номер 4.8, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.8. 1) $(\sqrt{15+3\sqrt{5}})^2 - 30\sqrt{3};$

2) $(\sqrt{4-\sqrt{7}}+\sqrt{\sqrt{7}+4})^2;$

3) $(\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2;$

4) $(\sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}})^2.$

1)Для решения этого выражения раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а затем выполним вычитание.
Пусть $a = \sqrt{15}$ и $b = 3\sqrt{5}$.
$(\sqrt{15}+3\sqrt{5})^2 - 30\sqrt{3} = (\sqrt{15})^2 + 2 \cdot \sqrt{15} \cdot 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 - 30\sqrt{3}$
Вычислим каждый член в скобках:
$(\sqrt{15})^2 = 15$
$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$
$2 \cdot \sqrt{15} \cdot 3\sqrt{5} = 6 \cdot \sqrt{15 \cdot 5} = 6\sqrt{75}$
Упростим корень: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
Тогда удвоенное произведение равно $6 \cdot 5\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$.
Подставим все значения обратно в выражение:
$15 + 30\sqrt{3} + 45 - 30\sqrt{3}$
Сгруппируем подобные члены: $(15 + 45) + (30\sqrt{3} - 30\sqrt{3}) = 60 + 0 = 60$.
Ответ: 60

2)Для упрощения этого выражения используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{4-\sqrt{7}}$ и $b = \sqrt{4+\sqrt{7}}$.
$(\sqrt{4-\sqrt{7}} + \sqrt{4+\sqrt{7}})^2 = (\sqrt{4-\sqrt{7}})^2 + 2 \cdot \sqrt{4-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}} + (\sqrt{4+\sqrt{7}})^2$
$a^2 = (\sqrt{4-\sqrt{7}})^2 = 4-\sqrt{7}$
$b^2 = (\sqrt{4+\sqrt{7}})^2 = 4+\sqrt{7}$
$2ab = 2 \cdot \sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$
Выражение под корнем является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7}) = 4^2 - (\sqrt{7})^2 = 16 - 7 = 9$.
Тогда $2ab = 2 \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$.
Сложим все полученные части:
$(4-\sqrt{7}) + 6 + (4+\sqrt{7}) = 4 - \sqrt{7} + 6 + 4 + \sqrt{7} = 4+6+4 = 14$.
Ответ: 14

3)Это выражение также можно упростить по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{5-2\sqrt{6}}$ и $b = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$.
$(\sqrt{5-2\sqrt{6}} + \sqrt{5+2\sqrt{6}})^2 = (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 + 2 \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5+2\sqrt{6}} + (\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2$
$a^2 = (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 = 5-2\sqrt{6}$
$b^2 = (\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2 = 5+2\sqrt{6}$
$2ab = 2 \cdot \sqrt{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}$
Применяем формулу разности квадратов:
$(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.
Следовательно, $2ab = 2 \cdot \sqrt{1} = 2$.
Складываем все части:
$(5-2\sqrt{6}) + 2 + (5+2\sqrt{6}) = 5 - 2\sqrt{6} + 2 + 5 + 2\sqrt{6} = 5+2+5 = 12$.
Ответ: 12

4)Здесь мы используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{6+\sqrt{11}}$ и $b = \sqrt{6-\sqrt{11}}$.
$(\sqrt{6+\sqrt{11}} - \sqrt{6-\sqrt{11}})^2 = (\sqrt{6+\sqrt{11}})^2 - 2 \cdot \sqrt{6+\sqrt{11}} \cdot \sqrt{6-\sqrt{11}} + (\sqrt{6-\sqrt{11}})^2$
$a^2 = (\sqrt{6+\sqrt{11}})^2 = 6+\sqrt{11}$
$b^2 = (\sqrt{6-\sqrt{11}})^2 = 6-\sqrt{11}$
$2ab = 2 \cdot \sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})}$
Используем формулу разности квадратов:
$(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11}) = 6^2 - (\sqrt{11})^2 = 36 - 11 = 25$.
Тогда $2ab = 2 \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$.
Подставляем все значения в исходное выражение:
$(6+\sqrt{11}) - 10 + (6-\sqrt{11}) = 6 + \sqrt{11} - 10 + 6 - \sqrt{11} = 6 - 10 + 6 = 2$.
Ответ: 2