Номер 4.1, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.1. Замените тождественно равным выражением:

1) $\sqrt{a^2}$;

2) $\sqrt{0.0121c^2}$, $c \geq 0$;

3) $\sqrt{0.0256c^2}$, $c \leq 0$;

4) $-5\sqrt{0.36x^2}$, $x < 0$.

1) $\sqrt{a^2}$

Основное свойство арифметического квадратного корня заключается в тождестве $\sqrt{x^2} = |x|$, где $|x|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $x$. Модуль числа $a$ равен самому числу $a$, если $a$ неотрицательно ($a \ge 0$), и равен противоположному числу $-a$, если $a$ отрицательно ($a < 0$). Поскольку в данном случае нет информации о знаке переменной $a$, выражение нельзя упростить дальше, чем модуль $a$.

Ответ: $|a|$.

2) $\sqrt{0,0121c^2}$, $c \ge 0$

Сначала преобразуем подкоренное выражение: $0,0121 = 0,11^2$, поэтому $0,0121c^2 = (0,11c)^2$.

Теперь применим тождество $\sqrt{x^2} = |x|$: $\sqrt{0,0121c^2} = \sqrt{(0,11c)^2} = |0,11c|$.

По условию задачи дано, что $c \ge 0$. Это означает, что произведение $0,11c$ также является неотрицательным ($0,11c \ge 0$). Следовательно, по определению модуля, мы можем убрать знак модуля, оставив выражение без изменений: $|0,11c| = 0,11c$.

Ответ: $0,11c$.

3) $\sqrt{0,0256c^2}$, $c \le 0$

Преобразуем выражение под знаком корня. Поскольку $0,16^2 = 0,0256$, то $0,0256c^2 = (0,16c)^2$.

Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$: $\sqrt{0,0256c^2} = \sqrt{(0,16c)^2} = |0,16c|$.

В условии указано, что $c \le 0$. Это значит, что выражение $0,16c$ является неположительным ($0,16c \le 0$). По определению модуля, для любого неположительного числа $y$ выполняется равенство $|y| = -y$. Применяя это правило, получаем: $|0,16c| = -(0,16c) = -0,16c$.

Ответ: $-0,16c$.

4) $-5\sqrt{0,36x^2}$, $x < 0$

Сначала упростим выражение под корнем. Так как $0,6^2 = 0,36$, то $0,36x^2 = (0,6x)^2$.

Подставим это в исходное выражение: $-5\sqrt{(0,6x)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{y^2} = |y|$, получим: $-5\sqrt{(0,6x)^2} = -5 \cdot |0,6x|$.

Из условия мы знаем, что $x < 0$. Следовательно, произведение $0,6x$ также будет отрицательным. Для отрицательных чисел модуль раскрывается с противоположным знаком: $|0,6x| = -(0,6x) = -0,6x$.

Теперь подставим раскрытый модуль обратно в выражение: $-5 \cdot (-0,6x) = (-5 \cdot -0,6) \cdot x = 3x$.

Ответ: $3x$.