Номер 3.40, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.40. Равны ли значения выражений:

1) $\sqrt{72}$ и $6\sqrt{2}$;

2) $\sqrt{288}$ и $12\sqrt{2}$;

3) $\sqrt{2a^2}$ и $a\sqrt{2}$;

4) $\sqrt{12a^4}$ и $2a^2\sqrt{3}$?

1) Чтобы сравнить значения выражений $\sqrt{72}$ и $6\sqrt{2}$, необходимо упростить одно из них, чтобы привести оба выражения к одинаковому виду. Упростим выражение $\sqrt{72}$, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное число 72 на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным квадратом целого числа.

$72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$

Теперь применим свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Так как в результате преобразования мы получили, что $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$, то значения выражений равны.

Ответ: да, равны.

2) Сравним значения выражений $\sqrt{288}$ и $12\sqrt{2}$. Поступим аналогично предыдущему пункту: вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{288}$. Разложим 288 на множители.

$288 = 144 \cdot 2 = 12^2 \cdot 2$

Извлечем корень:

$\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

Поскольку $\sqrt{288} = 12\sqrt{2}$, значения выражений равны.

Ответ: да, равны.

3) Сравним значения выражений $\sqrt{2a^2}$ и $a\sqrt{2}$. Упростим выражение $\sqrt{2a^2}$. Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль числа $x$).

$\sqrt{2a^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{2} \cdot |a| = |a|\sqrt{2}$

Теперь необходимо сравнить полученное выражение $|a|\sqrt{2}$ с выражением $a\sqrt{2}$. Равенство будет соблюдаться только в том случае, если $|a| = a$. Это верно только для неотрицательных чисел, то есть при $a \ge 0$.

Если же $a < 0$, то $|a| = -a$, и тогда $|a|\sqrt{2} = -a\sqrt{2}$. В этом случае $a\sqrt{2}$ и $-a\sqrt{2}$ не равны (кроме случая $a=0$, который относится к первой группе).

Приведем пример: пусть $a = -3$.
$\sqrt{2a^2} = \sqrt{2(-3)^2} = \sqrt{2 \cdot 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$a\sqrt{2} = -3\sqrt{2}$.
Так как $3\sqrt{2} \neq -3\sqrt{2}$, то значения выражений не равны.

Поскольку равенство выполняется не для всех допустимых значений переменной $a$, в общем случае эти выражения не равны.

Ответ: нет, не равны (равенство выполняется только при $a \ge 0$).

4) Сравним значения выражений $\sqrt{12a^4}$ и $2a^2\sqrt{3}$. Упростим выражение $\sqrt{12a^4}$.

Разложим подкоренное выражение на множители:

$12a^4 = 4 \cdot 3 \cdot a^4 = 2^2 \cdot 3 \cdot (a^2)^2$

Теперь вынесем множители из-под знака корня:

$\sqrt{12a^4} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot a^4} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{3}$

Мы знаем, что $\sqrt{4} = 2$. Для выражения $\sqrt{a^4}$ воспользуемся тем, что $a^4 = (a^2)^2$. Тогда:

$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2}$

Поскольку выражение $a^2$ всегда неотрицательно (т.е. $a^2 \ge 0$) для любого действительного значения $a$, то $\sqrt{(a^2)^2} = a^2$.

Таким образом, получаем:

$\sqrt{12a^4} = 2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} = 2a^2\sqrt{3}$

Полученное выражение полностью совпадает со вторым выражением. Равенство верно для любых значений переменной $a$.

Ответ: да, равны.