Номер 3.38, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.38. Проверьте, верно ли равенство:

1) $\sqrt{2 \cdot 25 \cdot n^2} = 5 \cdot |n| \cdot \sqrt{2}$;

2) $\sqrt{75 \cdot p^2} = 5 \cdot p \cdot \sqrt{3}$;

3) $\sqrt{2 \cdot 25 \cdot a^2} = -5 \cdot a \cdot \sqrt{2}$.

1) Проверим равенство $\sqrt{2 \cdot 25 \cdot n^2} = 5 \cdot |n| \cdot \sqrt{2}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$) и основное свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.

$\sqrt{2 \cdot 25 \cdot n^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{n^2} \cdot \sqrt{2}$

Так как $\sqrt{25} = 5$ и $\sqrt{n^2} = |n|$, получаем:

$\sqrt{25} \cdot \sqrt{n^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot |n| \cdot \sqrt{2}$.

Сравнивая преобразованную левую часть с правой, видим, что они идентичны: $5 \cdot |n| \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot |n| \cdot \sqrt{2}$.

Следовательно, равенство верно для любых действительных значений $n$.

Ответ: верно.

2) Проверим равенство $\sqrt{75 \cdot p^2} = 5 \cdot p \cdot \sqrt{3}$.

Преобразуем левую часть. Сначала разложим число 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.

$\sqrt{75 \cdot p^2} = \sqrt{25 \cdot 3 \cdot p^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{p^2} \cdot \sqrt{3}$.

Используя $\sqrt{25} = 5$ и $\sqrt{p^2} = |p|$, получаем:

$5 \cdot |p| \cdot \sqrt{3}$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью равенства: $5 \cdot |p| \cdot \sqrt{3}$ и $5 \cdot p \cdot \sqrt{3}$.

Равенство $5 \cdot |p| \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot p \cdot \sqrt{3}$ будет верным только в том случае, если $|p| = p$. Это условие выполняется только для всех неотрицательных $p$ (то есть $p \ge 0$).

Если же $p$ - отрицательное число (например, $p = -2$), то $|p| = -p$. В этом случае левая часть равна $5 \cdot (-p) \cdot \sqrt{3} = -5p\sqrt{3}$, а правая часть равна $5p\sqrt{3}$. При $p<0$ эти выражения не равны.

Поскольку равенство выполняется не для всех допустимых значений $p$, оно считается неверным.

Ответ: неверно.

3) Проверим равенство $\sqrt{2 \cdot 25 \cdot a^2} = -5 \cdot a \cdot \sqrt{2}$.

Преобразуем левую часть аналогично первому пункту:

$\sqrt{2 \cdot 25 \cdot a^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot |a| \cdot \sqrt{2}$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:

$5 \cdot |a| \cdot \sqrt{2} = -5 \cdot a \cdot \sqrt{2}$.

Разделив обе части равенства на $5\sqrt{2}$ (что не равно нулю), получим:

$|a| = -a$.

Это равенство справедливо только для всех неположительных значений $a$ (то есть $a \le 0$).

Если $a$ - положительное число (например, $a=1$), то $|a| = a$. В этом случае равенство примет вид $a = -a$, что неверно для $a>0$.

Поскольку равенство выполняется не для всех допустимых значений $a$, оно считается неверным.

Ответ: неверно.