Номер 3.32, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.32. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(x - 3)^2} + 3$ при $x < 3$;

2) $\sqrt{(x - 7)^2} - 7$ при $x \ge 7$;

3) $\sqrt{(x + 0,7)^2}$ при $x < -0,7$;

4) $\sqrt{(x + 7,5)^2} + \sqrt{x^2}$ при $x < -7,5$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(x - 3)^2} + 3$ при $x < 3$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$.

Таким образом, $\sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$.

Поскольку по условию $x < 3$, то разность $x - 3$ будет отрицательной ($x - 3 < 0$).

Согласно определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то $|a| = -a$. Следовательно, $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$(-x + 3) + 3 = -x + 6$.

Ответ: $-x + 6$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(x - 7)^2} - 7$ при $x \ge 7$.

Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, откуда получаем $\sqrt{(x - 7)^2} = |x - 7|$.

По условию $x \ge 7$, значит, выражение $x - 7$ является неотрицательным ($x - 7 \ge 0$).

По определению модуля, если выражение под модулем неотрицательно, то $|a| = a$. Таким образом, $|x - 7| = x - 7$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(x - 7) - 7 = x - 14$.

Ответ: $x - 14$.

3) Упростим выражение $\sqrt{(x + 0,7)^2}$ при $x < -0,7$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем $\sqrt{(x + 0,7)^2} = |x + 0,7|$.

Из условия $x < -0,7$ следует, что сумма $x + 0,7$ отрицательна ($x + 0,7 < 0$).

Раскрывая модуль отрицательного числа, получаем $|x + 0,7| = -(x + 0,7) = -x - 0,7$.

Ответ: $-x - 0,7$.

4) Упростим выражение $\sqrt{(x + 7,5)^2} + \sqrt{x^2}$ при $x < -7,5$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности, используя правило $\sqrt{a^2} = |a|$.

Первое слагаемое: $\sqrt{(x + 7,5)^2} = |x + 7,5|$.

По условию $x < -7,5$, что означает $x + 7,5 < 0$. Следовательно, $|x + 7,5| = -(x + 7,5) = -x - 7,5$.

Второе слагаемое: $\sqrt{x^2} = |x|$.

Так как по условию $x < -7,5$, то $x$ является отрицательным числом ($x < 0$). Значит, $|x| = -x$.

Теперь сложим упрощенные слагаемые:

$(-x - 7,5) + (-x) = -x - 7,5 - x = -2x - 7,5$.

Ответ: $-2x - 7,5$.