Номер 3.27, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите значения выражений (3.27–3.28):

3.27. 1) $\sqrt{625}$;

2) $\sqrt{0,1296}$;

3) $6 \cdot \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^4$;

4) $2\left(-\sqrt{\frac{7}{12}}\right)^2$.

1) Найдем значение выражения $\sqrt{\sqrt{625}}$.

Это двойной квадратный корень. Сначала нужно извлечь корень из числа под внутренним корнем, а затем из полученного результата.

Шаг 1: Вычислим внутренний корень $\sqrt{625}$.

Мы знаем, что $25^2 = 25 \cdot 25 = 625$. Следовательно, $\sqrt{625} = 25$.

Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение.

$\sqrt{\sqrt{625}} = \sqrt{25}$.

Шаг 3: Вычислим оставшийся корень.

$\sqrt{25} = 5$.

Ответ: $5$.

2) Найдем значение выражения $\sqrt{\sqrt{0,1296}}$.

Действуем аналогично предыдущему примеру.

Шаг 1: Вычислим внутренний корень $\sqrt{0,1296}$.

Для удобства представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,1296 = \frac{1296}{10000}$.

Тогда $\sqrt{0,1296} = \sqrt{\frac{1296}{10000}} = \frac{\sqrt{1296}}{\sqrt{10000}}$.

Нам известно, что $36^2 = 1296$ и $100^2 = 10000$.

Значит, $\frac{\sqrt{1296}}{\sqrt{10000}} = \frac{36}{100} = 0,36$.

Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение.

$\sqrt{\sqrt{0,1296}} = \sqrt{0,36}$.

Шаг 3: Вычислим оставшийся корень.

$\sqrt{0,36} = \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Ответ: $0,6$.

3) Найдем значение выражения $6 \cdot (\sqrt{\frac{2}{3}})^4$.

Шаг 1: Упростим выражение в скобках, возведенное в степень. Используем свойство степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$. Также напомним, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$(\sqrt{\frac{2}{3}})^4 = ((\frac{2}{3})^{1/2})^4 = (\frac{2}{3})^{1/2 \cdot 4} = (\frac{2}{3})^2$.

Шаг 2: Вычислим полученную степень.

$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.

Шаг 3: Подставим результат в исходное выражение и выполним умножение.

$6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{6 \cdot 4}{9} = \frac{24}{9}$.

Шаг 4: Сократим полученную дробь.

$\frac{24}{9} = \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

4) Найдем значение выражения $2(-\sqrt{\frac{7}{12}})^2$.

Шаг 1: Возведем в квадрат выражение в скобках. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2) результат будет положительным. Квадрат квадратного корня из числа равен самому этому числу: $(-\sqrt{a})^2 = a$.

$(-\sqrt{\frac{7}{12}})^2 = \frac{7}{12}$.

Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение и выполним умножение.

$2 \cdot \frac{7}{12} = \frac{2 \cdot 7}{12} = \frac{14}{12}$.

Шаг 3: Сократим полученную дробь.

$\frac{14}{12} = \frac{7 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{7}{6}$.

Ответ: $\frac{7}{6}$.