Номер 3.24, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.24. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{|x|-3}$;

2) $\sqrt{-|x+5|-9}$;

3) $\sqrt{\frac{x^2}{x-4}}$;

4) $\sqrt{\frac{5-x}{|x|}}$;

5) $\sqrt{\frac{x+7}{|x-2|}}$;

6) $\sqrt{\frac{2x-3}{(x-3)^2}}$?

1) Выражение $\sqrt{|x|-3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $|x|-3 \ge 0$.

Перенесем 3 в правую часть неравенства: $|x| \ge 3$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 3$ или $x \le -3$.

Таким образом, решением является объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt{-|x+5|-9}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $-|x+5|-9 \ge 0$.

Перенесем $-|x+5|$ в правую часть: $-9 \ge |x+5|$, или $|x+5| \le -9$.

Поскольку модуль любого выражения является неотрицательной величиной ($|x+5| \ge 0$), а в правой части неравенства стоит отрицательное число, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: выражение не имеет смысла ни при каких значениях $x$.

3) Выражение $\sqrt{\frac{x^2}{x-4}}$ имеет смысл, когда выполняются два условия: подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.

1. Знаменатель не равен нулю: $x-4 \ne 0 \implies x \ne 4$.

2. Подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{x^2}{x-4} \ge 0$.

Числитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Он равен нулю при $x=0$. При $x \ne 0$, $x^2 > 0$.

Таким образом, знак дроби зависит от знака знаменателя $x-4$ (при $x \ne 0$). Чтобы дробь была положительной, необходимо, чтобы знаменатель был положительным: $x-4 > 0 \implies x > 4$.

Также нужно проверить случай, когда дробь равна нулю. Это возможно, если числитель равен нулю, а знаменатель нет. $x^2 = 0 \implies x = 0$. При $x=0$ знаменатель $0-4=-4 \ne 0$, значит $x=0$ является решением.

Объединяя условия, получаем $x > 4$ или $x = 0$.

Ответ: $x \in \{0\} \cup (4, +\infty)$.

4) Выражение $\sqrt{\frac{5-x}{|x|}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.

1. Знаменатель не равен нулю: $|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.

2. Подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{5-x}{|x|} \ge 0$.

Поскольку знаменатель $|x|$ всегда положителен при $x \ne 0$, знак дроби определяется знаком числителя $5-x$.

Следовательно, должно выполняться неравенство $5-x \ge 0$.

Решаем неравенство: $5 \ge x$, или $x \le 5$.

Учитывая условие $x \ne 0$, получаем искомое множество значений.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 5]$.

5) Выражение $\sqrt{\frac{x+7}{|x-2|}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.

1. Знаменатель не равен нулю: $|x-2| \ne 0 \implies x-2 \ne 0 \implies x \ne 2$.

2. Подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{x+7}{|x-2|} \ge 0$.

Поскольку знаменатель $|x-2|$ всегда положителен при $x \ne 2$, знак дроби определяется знаком числителя $x+7$.

Следовательно, должно выполняться неравенство $x+7 \ge 0$.

Решаем неравенство: $x \ge -7$.

Учитывая условие $x \ne 2$, получаем искомое множество значений.

Ответ: $x \in [-7, 2) \cup (2, +\infty)$.

6) Выражение $\sqrt{\frac{2x-3}{(x-3)^2}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.

1. Знаменатель не равен нулю: $(x-3)^2 \ne 0 \implies x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$.

2. Подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{2x-3}{(x-3)^2} \ge 0$.

Поскольку знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \ne 3$, знак дроби определяется знаком числителя $2x-3$.

Следовательно, должно выполняться неравенство $2x-3 \ge 0$.

Решаем неравенство: $2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$.

Учитывая условие $x \ne 3$, получаем искомое множество значений.

Ответ: $x \in [1.5, 3) \cup (3, +\infty)$.