Номер 3.26, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.26. Упростите выражение:

1) $(x - 4) \cdot \sqrt{x^2 - 8x + 16}$
а) при $x > 4$;
б) при $x < 4$.

2) $(x + 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 1}}$
а) при $x > -1$;
б) при $x < -1$.

1) Упростим выражение $(x - 4) \cdot \sqrt{x^2 - 8x + 16}$.
Подкоренное выражение представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $(x - 4) \cdot \sqrt{(x - 4)^2}$.
Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $(x - 4) \cdot |x - 4|$.
Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

а) при $x > 4$
Если $x > 4$, то $x - 4 > 0$. По определению модуля, $|x - 4| = x - 4$.
Тогда выражение принимает вид: $(x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2$.
Ответ: $(x - 4)^2$.

б) при $x < 4$
Если $x < 4$, то $x - 4 < 0$. По определению модуля, $|x - 4| = -(x - 4)$.
Тогда выражение принимает вид: $(x - 4) \cdot (-(x - 4)) = -(x - 4)^2$.
Ответ: $-(x - 4)^2$.

2) Упростим выражение $(x + 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 1}}$.
Подкоренное выражение в знаменателе представляет собой полный квадрат суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.
Так как выражение находится в знаменателе, оно не может быть равно нулю, следовательно, $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$.
Исходное выражение можно переписать в виде: $(x + 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2}}$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $(x + 1) \cdot \frac{1}{|x + 1|} = \frac{x + 1}{|x + 1|}$.
Теперь рассмотрим два случая.

а) при $x > -1$
Если $x > -1$, то $x + 1 > 0$. По определению модуля, $|x + 1| = x + 1$.
Тогда выражение принимает вид: $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$.
Ответ: $1$.

б) при $x < -1$
Если $x < -1$, то $x + 1 < 0$. По определению модуля, $|x + 1| = -(x + 1)$.
Тогда выражение принимает вид: $\frac{x + 1}{-(x + 1)} = -1$.
Ответ: $-1$.