Номер 3.30, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.30. Верно ли равенство $x\sqrt{6} = -\sqrt{6x^2}$ :

1) при $x = 4$;

2) при $x = -5$;

3) при $x \ge 0$;

4) при $x \le 0$?

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ верно равенство $x\sqrt{6} = -\sqrt{6x^2}$, преобразуем его правую часть.Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:$-\sqrt{6x^2} = -\sqrt{6 \cdot x^2} = -\sqrt{6} \cdot \sqrt{x^2} = -\sqrt{6} \cdot |x| = -|x|\sqrt{6}$.Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде:$x\sqrt{6} = -|x|\sqrt{6}$.Разделив обе части на $\sqrt{6}$ (что возможно, так как $\sqrt{6} \neq 0$), получим эквивалентное равенство:$x = -|x|$.Теперь проверим это равенство для каждого из предложенных случаев.

1) при $x=4$
Подставим $x=4$ в равенство $x = -|x|$:$4 = -|4|$$4 = -4$Это неверно.Проверка с исходным равенством:Левая часть: $4\sqrt{6}$.Правая часть: $-\sqrt{6 \cdot 4^2} = -\sqrt{6 \cdot 16} = -\sqrt{96} = -4\sqrt{6}$.$4\sqrt{6} \neq -4\sqrt{6}$.Следовательно, при $x=4$ равенство неверно.
Ответ: неверно.

2) при $x=-5$
Подставим $x=-5$ в равенство $x = -|x|$:$-5 = -|-5|$$-5 = -(5)$$-5 = -5$Это верно.Проверка с исходным равенством:Левая часть: $-5\sqrt{6}$.Правая часть: $-\sqrt{6 \cdot (-5)^2} = -\sqrt{6 \cdot 25} = -\sqrt{150} = -\sqrt{25 \cdot 6} = -5\sqrt{6}$.$-5\sqrt{6} = -5\sqrt{6}$.Следовательно, при $x=-5$ равенство верно.
Ответ: верно.

3) при $x \ge 0$
Рассмотрим равенство $x = -|x|$.Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x|=x$.Равенство принимает вид:$x = -x$$2x = 0$$x = 0$Это означает, что из всего промежутка $x \ge 0$ равенство выполняется только в одной точке $x=0$. Для всех $x>0$ оно неверно. Поскольку вопрос ставится о всем промежутке, утверждение является неверным.
Ответ: неверно.

4) при $x \le 0$
Рассмотрим равенство $x = -|x|$.Если $x \le 0$, то по определению модуля $|x|=-x$.Равенство принимает вид:$x = -(-x)$$x = x$Это тождество, оно верно для любого значения $x$. Следовательно, для всех $x \le 0$ исходное равенство верно.
Ответ: верно.