Номер 3.31, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.31. Внесите положительный множитель под знак корня:

1) $4 \cdot \sqrt{2a};$

2) $-3 \cdot \sqrt{0.1a};$

3) $-\frac{1}{3} \cdot \sqrt{0.9a};$

4) $-0.1 \cdot \sqrt{10a};$

5) $-a \cdot \sqrt{-3a};$

6) $2a \cdot \sqrt{-3a}.$

1) Чтобы внести положительный множитель $4$ под знак корня, его необходимо возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение. $4 \cdot \sqrt{2a} = \sqrt{4^2 \cdot 2a} = \sqrt{16 \cdot 2a} = \sqrt{32a}$. При этом должно выполняться условие $2a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
Ответ: $\sqrt{32a}$.

2) В выражении $-3 \cdot \sqrt{0,1a}$ множитель перед корнем равен $-3$. По условию, необходимо внести под знак корня только положительный множитель. Представим $-3$ как произведение $-1 \cdot 3$. Положительный множитель $3$ вносим под корень, а знак "минус" оставляем перед корнем. $-3 \cdot \sqrt{0,1a} = - (3 \cdot \sqrt{0,1a}) = - \sqrt{3^2 \cdot 0,1a} = - \sqrt{9 \cdot 0,1a} = - \sqrt{0,9a}$. Выражение имеет смысл при $0,1a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
Ответ: $- \sqrt{0,9a}$.

3) В выражении $- \frac{1}{3} \cdot \sqrt{0,9a}$ положительный множитель равен $\frac{1}{3}$. Вносим его под знак корня, возведя в квадрат. Знак "минус" остается перед корнем. $- \frac{1}{3} \cdot \sqrt{0,9a} = - \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 0,9a} = - \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 0,9a} = - \sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{9}{10}a} = - \sqrt{\frac{1}{10}a} = - \sqrt{0,1a}$. Выражение имеет смысл при $0,9a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
Ответ: $- \sqrt{0,1a}$.

4) В выражении $-0,1 \cdot \sqrt{10a}$ положительный множитель равен $0,1$. Вносим его под знак корня, а знак "минус" оставляем перед ним. $-0,1 \cdot \sqrt{10a} = - \sqrt{(0,1)^2 \cdot 10a} = - \sqrt{0,01 \cdot 10a} = - \sqrt{0,1a}$. Выражение имеет смысл при $10a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
Ответ: $- \sqrt{0,1a}$.

5) Рассмотрим выражение $-a \cdot \sqrt{-3a}$. Для того чтобы корень имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-3a \ge 0$, из чего следует, что $a \le 0$. При условии $a \le 0$, множитель $-a$ является неотрицательным (то есть $-a \ge 0$). Следовательно, мы можем внести множитель $-a$ под знак корня, так как он является положительным (или равным нулю). $-a \cdot \sqrt{-3a} = \sqrt{(-a)^2 \cdot (-3a)} = \sqrt{a^2 \cdot (-3a)} = \sqrt{-3a^3}$.
Ответ: $\sqrt{-3a^3}$.

6) Рассмотрим выражение $2a \cdot \sqrt{-3a}$. Условие существования корня: $-3a \ge 0$, что означает $a \le 0$. При $a \le 0$ множитель $2a$ является неположительным ($2a \le 0$). По заданию нужно внести положительный множитель. Для этого представим $2a$ в виде $-(-2a)$. Поскольку $a \le 0$, то $-2a \ge 0$, то есть $-2a$ является положительным множителем (или равным нулю). Вносим под корень множитель $(-2a)$, а знак "минус" оставляем перед корнем. $2a \cdot \sqrt{-3a} = -(-2a) \cdot \sqrt{-3a} = - \sqrt{(-2a)^2 \cdot (-3a)} = - \sqrt{4a^2 \cdot (-3a)} = - \sqrt{-12a^3}$.
Ответ: $- \sqrt{-12a^3}$.