Номер 3.34, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.34. Упростите выражение:

1) $4y^2 \cdot \frac{1}{32} \cdot y^4$;

2) $5(2y^2)^3$;

3) $2\frac{1}{2}y^5 : (5y^2)^2$;

4) $0,4y^3 : (3\frac{1}{5}y^3)^2$.

1) Чтобы упростить выражение $4y^2 \cdot \frac{1}{32} \cdot y^4$, сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

$4y^2 \cdot \frac{1}{32} \cdot y^4 = (4 \cdot \frac{1}{32}) \cdot (y^2 \cdot y^4)$

Вычислим произведение коэффициентов:

$4 \cdot \frac{1}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$

Теперь умножим степени с одинаковым основанием $y$, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$y^2 \cdot y^4 = y^{2+4} = y^6$

Объединим полученные результаты:

$\frac{1}{8} \cdot y^6 = \frac{1}{8}y^6$

Ответ: $\frac{1}{8}y^6$

2) Чтобы упростить выражение $5(2y^2)^3$, сначала возведем в степень выражение в скобках. Используем свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2y^2)^3 = 2^3 \cdot (y^2)^3 = 8 \cdot y^{2 \cdot 3} = 8y^6$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$5 \cdot (8y^6)$

Умножим числовые коэффициенты:

$5 \cdot 8 = 40$

Таким образом, выражение равно:

$40y^6$

Ответ: $40y^6$

3) Чтобы упростить выражение $2\frac{1}{2}y^5 : (5y^2)^2$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь и упростим делитель.

Преобразуем смешанное число:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Упростим делитель $(5y^2)^2$, используя свойства степеней:

$(5y^2)^2 = 5^2 \cdot (y^2)^2 = 25 \cdot y^{2 \cdot 2} = 25y^4$

Теперь выполним деление:

$\frac{5}{2}y^5 : (25y^4) = \frac{\frac{5}{2}y^5}{25y^4}$

Разделим коэффициенты и переменные отдельно. Для коэффициентов:

$\frac{5}{2} : 25 = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}$

Для переменных, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$y^5 : y^4 = y^{5-4} = y^1 = y$

Объединим результаты:

$\frac{1}{10}y$

Ответ: $\frac{1}{10}y$

4) Чтобы упростить выражение $0,4y^3 : (3\frac{1}{5}y^3)^2$, переведем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби.

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$

Выражение принимает вид:

$\frac{2}{5}y^3 : (\frac{16}{5}y^3)^2$

Упростим делитель $(\frac{16}{5}y^3)^2$:

$(\frac{16}{5}y^3)^2 = (\frac{16}{5})^2 \cdot (y^3)^2 = \frac{16^2}{5^2} \cdot y^{3 \cdot 2} = \frac{256}{25}y^6$

Теперь выполним деление:

$\frac{2}{5}y^3 : (\frac{256}{25}y^6) = \frac{\frac{2}{5}y^3}{\frac{256}{25}y^6}$

Разделим коэффициенты:

$\frac{2}{5} : \frac{256}{25} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{256} = \frac{2 \cdot 25}{5 \cdot 256} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 128} = \frac{5}{128}$

Разделим переменные:

$y^3 : y^6 = y^{3-6} = y^{-3} = \frac{1}{y^3}$

Объединим результаты:

$\frac{5}{128} \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{5}{128y^3}$

Ответ: $\frac{5}{128y^3}$