Вопросы, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. На каких свойствах арифметических квадратных корней основано вынесение общего множителя из-под знака корня? Приведите пример.

2. Что означает: освободиться от иррациональности в числителе или знаменателе дроби?

1. Вынесение множителя из-под знака корня основано на свойстве корня из произведения. Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедлива следующая теорема: корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.
Математически это свойство записывается так: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a \geq 0$ и $b \geq 0$.
Чтобы вынести множитель из-под знака корня, нужно подкоренное выражение представить в виде произведения множителей, один из которых (или несколько) является точным квадратом. Затем применяется указанное свойство.
Пример: Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{72}$.
1. Представим число 72 в виде произведения множителей, где один из множителей является наибольшим возможным точным квадратом. $72 = 36 \cdot 2$. Число 36 является точным квадратом ($36 = 6^2$).
2. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}$.
3. Извлечем корень из множителя, который является точным квадратом: $\sqrt{36} = 6$.
4. Получаем окончательный результат: $6\sqrt{2}$.
Ответ: Вынесение множителя из-под знака корня основано на свойстве $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$). Пример: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

2. «Освободиться от иррациональности в числителе или знаменателе дроби» — это значит преобразовать дробь к равному ей выражению, которое не будет содержать знака корня (радикала) в указанной части дроби (числителе или знаменателе).
Это преобразование выполняется путем умножения и числителя, и знаменателя дроби на одно и то же специально подобранное выражение (отличное от нуля), называемое сопряженным множителем. Такое умножение не меняет значения дроби, так как по сути является умножением на единицу.
Примеры:
1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5}{\sqrt{3}}$.
Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$.
Знаменатель новой дроби (число 3) не содержит корня.
2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$.
Здесь знаменатель является разностью корней. Чтобы от нее избавиться, используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{7} + \sqrt{5}$:
$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} + \sqrt{5}$.
В результате мы получили выражение, не содержащее дроби и иррациональности в знаменателе.
Ответ: Это означает преобразовать дробь в равную ей, но без знака корня в числителе или знаменателе соответственно. Это достигается умножением числителя и знаменателя на одно и то же выражение, которое устраняет корень.