Номер 4.7, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.7.1) $(x + \sqrt{y})(x + \sqrt{y});$

2) $(\sqrt{x} + \sqrt{xy})^2;$

3) $(3\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2;$

4) $(4\sqrt{5}-7\sqrt{5})^2.$

1) Для решения данного примера раскроем скобки в выражении $(x + \sqrt{y})(x + \sqrt{y})$. Данное выражение эквивалентно квадрату суммы $(x + \sqrt{y})^2$. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае, $a=x$ и $b=\sqrt{y}$.
Подставим наши значения в формулу:
$(x + \sqrt{y})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{y} + (\sqrt{y})^2$
Поскольку $(\sqrt{y})^2 = y$, выражение упрощается до:
$x^2 + 2x\sqrt{y} + y$
Ответ: $x^2 + 2x\sqrt{y} + y$.

2) Чтобы решить пример $(\sqrt{x} + \sqrt{xy})^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В этом выражении $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{xy}$.
Применим формулу:
$(\sqrt{x} + \sqrt{xy})^2 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{xy} + (\sqrt{xy})^2$
Теперь упростим каждый член выражения:
Первый член: $(\sqrt{x})^2 = x$.
Третий член: $(\sqrt{xy})^2 = xy$.
Второй член: $2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{xy} = 2\sqrt{x \cdot xy} = 2\sqrt{x^2y}$. Так как в исходном выражении есть $\sqrt{x}$, то $x \ge 0$, поэтому $\sqrt{x^2} = x$. Таким образом, второй член равен $2x\sqrt{y}$.
Сложив все члены вместе, получаем:
$x + 2x\sqrt{y} + xy$
Ответ: $x + 2x\sqrt{y} + xy$.

3) Для того чтобы найти значение выражения $(3\sqrt{6} - 2\sqrt{3})^2$, используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=3\sqrt{6}$ и $b=2\sqrt{3}$.
Подставим значения в формулу:
$(3\sqrt{6} - 2\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{6})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{6}) \cdot (2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2$
Вычислим значение каждого члена по отдельности:
$(3\sqrt{6})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$.
$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.
$2 \cdot (3\sqrt{6}) \cdot (2\sqrt{3}) = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{6 \cdot 3} = 12\sqrt{18}$. Упростим радикал: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9}\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Тогда средний член равен $12 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$.
Теперь объединим все части:
$54 - 36\sqrt{2} + 12 = (54+12) - 36\sqrt{2} = 66 - 36\sqrt{2}$.
Ответ: $66 - 36\sqrt{2}$.

4) Для вычисления выражения $(4\sqrt{5} - 7\sqrt{5})^2$ сначала упростим выражение внутри скобок. Оба члена содержат одинаковый множитель $\sqrt{5}$, поэтому мы можем их вычесть.
$4\sqrt{5} - 7\sqrt{5} = (4-7)\sqrt{5} = -3\sqrt{5}$
Теперь возведем полученный результат в квадрат:
$(-3\sqrt{5})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{5})^2$
Вычисляем квадраты:
$(-3)^2 = 9$
$(\sqrt{5})^2 = 5$
Перемножаем результаты: $9 \cdot 5 = 45$.
Ответ: $45$.