Номер 4.14, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.14. 1) $1 - \frac{a-\sqrt{7a}}{a-7}$;

2) $\frac{y+\sqrt{3x}}{y^2-3x}$;

3) $\frac{x^2-6a}{x+\sqrt{6a}}-x$;

4) $\frac{c^2-3a}{c+\sqrt{3a}}+3c$.

1) Чтобы упростить выражение $1 - \frac{a - \sqrt{7a}}{a - 7}$, приведем его к общему знаменателю $a-7$.
$1 - \frac{a - \sqrt{7a}}{a - 7} = \frac{a-7 - (a - \sqrt{7a})}{a-7} = \frac{a-7-a+\sqrt{7a}}{a-7} = \frac{\sqrt{7a}-7}{a-7}$.
Для дальнейшего упрощения разложим числитель и знаменатель на множители. Предполагая, что $a \ge 0$, мы можем записать $a = (\sqrt{a})^2$, $7 = (\sqrt{7})^2$ и $\sqrt{7a} = \sqrt{7}\sqrt{a}$.
Числитель: $\sqrt{7a}-7 = \sqrt{7}\sqrt{a} - (\sqrt{7})^2 = \sqrt{7}(\sqrt{a}-\sqrt{7})$.
Знаменатель: $a-7 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{7})(\sqrt{a}+\sqrt{7})$ по формуле разности квадратов.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt{7}(\sqrt{a}-\sqrt{7})}{(\sqrt{a}-\sqrt{7})(\sqrt{a}+\sqrt{7})}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a}-\sqrt{7})$ (при условии, что $a \neq 7$):
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{a}+\sqrt{7}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{a}+\sqrt{7}}$

2) Рассмотрим выражение $\frac{y + \sqrt{3x}}{y^2 - 3x}$.
Чтобы упростить эту дробь, разложим знаменатель $y^2 - 3x$ на множители. Это разность квадратов, так как $3x = (\sqrt{3x})^2$.
Используя формулу $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, получаем:
$y^2 - 3x = y^2 - (\sqrt{3x})^2 = (y - \sqrt{3x})(y + \sqrt{3x})$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{y + \sqrt{3x}}{(y - \sqrt{3x})(y + \sqrt{3x})}$.
Сокращаем дробь на общий множитель $(y + \sqrt{3x})$ (при условии, что $y^2 - 3x \neq 0$):
$\frac{1}{y - \sqrt{3x}}$.
Ответ: $\frac{1}{y - \sqrt{3x}}$

3) Дано выражение $\frac{x^2 - 6a}{x + \sqrt{6a}} - x$.
Сначала упростим дробь. Числитель $x^2 - 6a$ является разностью квадратов: $x^2 - (\sqrt{6a})^2$.
Разложим его на множители: $x^2 - (\sqrt{6a})^2 = (x - \sqrt{6a})(x + \sqrt{6a})$.
Подставим в дробь:
$\frac{(x - \sqrt{6a})(x + \sqrt{6a})}{x + \sqrt{6a}}$.
Сократим на $(x + \sqrt{6a})$ (при $x + \sqrt{6a} \neq 0$), получим $x - \sqrt{6a}$.
Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное:
$(x - \sqrt{6a}) - x = x - \sqrt{6a} - x = -\sqrt{6a}$.
Ответ: $-\sqrt{6a}$

4) Дано выражение $\frac{c^2 - 3a}{c + \sqrt{3a}} + 3c$.
Упростим дробную часть. Числитель $c^2 - 3a$ можно разложить на множители как разность квадратов: $c^2 - (\sqrt{3a})^2$.
$c^2 - (\sqrt{3a})^2 = (c - \sqrt{3a})(c + \sqrt{3a})$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(c - \sqrt{3a})(c + \sqrt{3a})}{c + \sqrt{3a}}$.
Сократим на общий множитель $(c + \sqrt{3a})$ (при $c + \sqrt{3a} \neq 0$), в результате чего останется $c - \sqrt{3a}$.
Теперь вернемся к исходному выражению и подставим упрощенную дробь:
$(c - \sqrt{3a}) + 3c$.
Сложим подобные члены: $c + 3c - \sqrt{3a} = 4c - \sqrt{3a}$.
Ответ: $4c - \sqrt{3a}$