Номер 4.12, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (4.12–4.14):

4.12. 1) $ \frac{\sqrt{7} - 2}{2\sqrt{7} - 4} + 1.5; $

2) $ \frac{\sqrt{28} - 6}{\sqrt{7} - 3} - 17.5; $

3) $ \frac{3\sqrt{7} - 2a}{6\sqrt{7} - 4a} - 1.5; $

4) $ \frac{\sqrt{3c} + 2}{\sqrt{12c} + 4} + 7.5. $

4.12. 1) Дано выражение: $\frac{\sqrt{7} - 2}{2\sqrt{7} - 4} + 1,5$.

Упростим знаменатель дроби, вынеся за скобки общий множитель 2: $2\sqrt{7} - 4 = 2(\sqrt{7} - 2)$.

Подставим полученное выражение в знаменатель: $\frac{\sqrt{7} - 2}{2(\sqrt{7} - 2)} + 1,5$.

Так как $\sqrt{7} - 2 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(\sqrt{7} - 2)$.

В результате сокращения получаем: $\frac{1}{2} + 1,5$.

Переведем $\frac{1}{2}$ в десятичную дробь $0,5$ и сложим с $1,5$: $0,5 + 1,5 = 2$.

Ответ: 2

2) Дано выражение: $\frac{\sqrt{28} - 6}{\sqrt{7} - 3} - 17,5$.

Упростим корень в числителе: $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Теперь числитель имеет вид $2\sqrt{7} - 6$. Вынесем за скобки общий множитель 2: $2(\sqrt{7} - 3)$.

Подставим упрощенный числитель в исходное выражение: $\frac{2(\sqrt{7} - 3)}{\sqrt{7} - 3} - 17,5$.

Так как $\sqrt{7} - 3 \neq 0$ (поскольку $\sqrt{7} \approx 2,65$, а $2,65 - 3 \neq 0$), мы можем сократить дробь на $(\sqrt{7} - 3)$.

В результате получаем: $2 - 17,5$.

Вычислим разность: $2 - 17,5 = -15,5$.

Ответ: -15,5

3) Дано выражение: $\frac{3\sqrt{7} - 2a}{6\sqrt{7} - 4a} - 1,5$.

Упростим знаменатель дроби, вынеся за скобки общий множитель 2: $6\sqrt{7} - 4a = 2(3\sqrt{7} - 2a)$.

Подставим полученное выражение в знаменатель: $\frac{3\sqrt{7} - 2a}{2(3\sqrt{7} - 2a)} - 1,5$.

При условии, что $3\sqrt{7} - 2a \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(3\sqrt{7} - 2a)$.

В результате сокращения получаем: $\frac{1}{2} - 1,5$.

Переведем $\frac{1}{2}$ в десятичную дробь $0,5$ и вычтем $1,5$: $0,5 - 1,5 = -1$.

Ответ: -1

4) Дано выражение: $\frac{\sqrt{3c} + 2}{\sqrt{12c} + 4} + 7,5$.

Упростим корень в знаменателе. Для этого выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $c \ge 0$.

Преобразуем $\sqrt{12c}$: $\sqrt{12c} = \sqrt{4 \cdot 3c} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3c} = 2\sqrt{3c}$.

Теперь знаменатель имеет вид $2\sqrt{3c} + 4$. Вынесем за скобки общий множитель 2: $2(\sqrt{3c} + 2)$.

Подставим упрощенный знаменатель в исходное выражение: $\frac{\sqrt{3c} + 2}{2(\sqrt{3c} + 2)} + 7,5$.

Так как при $c \ge 0$ выражение $\sqrt{3c} + 2$ всегда положительно и, следовательно, не равно нулю, мы можем сократить дробь на $(\sqrt{3c} + 2)$.

В результате получаем: $\frac{1}{2} + 7,5$.

Переведем $\frac{1}{2}$ в десятичную дробь $0,5$ и сложим с $7,5$: $0,5 + 7,5 = 8$.

Ответ: 8