Номер 4.16, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.16.

1) $\frac{5-a}{1+\sqrt{5}}$;

2) $\frac{7a+\sqrt{a}}{2-\sqrt{a}}$;

3) $\frac{1,5c}{\sqrt{3}+c}$;

4) $\frac{5c-1}{\sqrt{5c-1}}$;

5) $\frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$;

6) $\frac{x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{3x}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5-a}{1+\sqrt{5}}$, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $1+\sqrt{5}$ является $1-\sqrt{5}$.

$\frac{5-a}{1+\sqrt{5}} = \frac{(5-a)(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}$

В знаменателе применяем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:

$(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5}) = 1^2 - (\sqrt{5})^2 = 1 - 5 = -4$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{(5-a)(1-\sqrt{5})}{-4}$

Внесем знак минуса из знаменателя в числитель, поменяв знаки у множителя $(5-a)$ на $(a-5)$:

$\frac{(a-5)(1-\sqrt{5})}{4}$

Ответ: $\frac{(a-5)(1-\sqrt{5})}{4}$.

2) Для дроби $\frac{7a+\sqrt{a}}{2-\sqrt{a}}$ сопряженным выражением к знаменателю $2-\sqrt{a}$ является $2+\sqrt{a}$. Умножим на него числитель и знаменатель.

$\frac{7a+\sqrt{a}}{2-\sqrt{a}} = \frac{(7a+\sqrt{a})(2+\sqrt{a})}{(2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a}) = 2^2 - (\sqrt{a})^2 = 4 - a$.

Раскроем скобки в числителе:

$(7a+\sqrt{a})(2+\sqrt{a}) = 7a \cdot 2 + 7a \cdot \sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot 2 + \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = 14a + 7a\sqrt{a} + 2\sqrt{a} + a = 15a + (7a+2)\sqrt{a}$.

Получаем итоговое выражение:

$\frac{15a + (7a+2)\sqrt{a}}{4-a}$

Ответ: $\frac{15a + (7a+2)\sqrt{a}}{4-a}$.

3) В выражении $\frac{1,5c}{\sqrt{3}+c}$ знаменатель равен $\sqrt{3}+c$. Сопряженное ему выражение — $\sqrt{3}-c$. Умножим числитель и знаменатель на него.

$\frac{1,5c}{\sqrt{3}+c} = \frac{1,5c(\sqrt{3}-c)}{(\sqrt{3}+c)(\sqrt{3}-c)}$

Знаменатель: $(\sqrt{3}+c)(\sqrt{3}-c) = (\sqrt{3})^2 - c^2 = 3-c^2$.

Числитель: $1,5c(\sqrt{3}-c) = 1,5c\sqrt{3} - 1,5c^2$.

Итоговая дробь:

$\frac{1,5c\sqrt{3} - 1,5c^2}{3-c^2}$

Ответ: $\frac{1,5c(\sqrt{3}-c)}{3-c^2}$.

4) В дроби $\frac{5c-1}{\sqrt{5c-1}}$ в знаменателе находится один корень. Чтобы избавиться от него, умножим числитель и знаменатель на этот корень, то есть на $\sqrt{5c-1}$.

$\frac{5c-1}{\sqrt{5c-1}} = \frac{(5c-1)\sqrt{5c-1}}{(\sqrt{5c-1})(\sqrt{5c-1})} = \frac{(5c-1)\sqrt{5c-1}}{5c-1}$

При условии $5c-1 > 0$, которое необходимо для существования исходного выражения, можно сократить дробь на $(5c-1)$:

$\frac{(5c-1)\sqrt{5c-1}}{5c-1} = \sqrt{5c-1}$

Также можно было заметить, что $5c-1 = (\sqrt{5c-1})^2$, и сразу сократить дробь.

Ответ: $\sqrt{5c-1}$.

5) Для дроби $\frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$ сопряженным к знаменателю является выражение $\sqrt{5x}+\sqrt{a}$. Умножим числитель и знаменатель на него.

$\frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} = \frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt{a})}{(\sqrt{5x}-\sqrt{a})(\sqrt{5x}+\sqrt{a})}$

Знаменатель: $(\sqrt{5x}-\sqrt{a})(\sqrt{5x}+\sqrt{a}) = (\sqrt{5x})^2 - (\sqrt{a})^2 = 5x-a$.

В результате получаем дробь с рациональным знаменателем:

$\frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt{a})}{5x-a}$

Ответ: $\frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt{a})}{5x-a}$.

6) В выражении $\frac{x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{3x}}$ сопряженным к знаменателю $\sqrt{x}+\sqrt{3x}$ является $\sqrt{x}-\sqrt{3x}$.

$\frac{x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{3x}} = \frac{(x-6)(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}{(\sqrt{x}+\sqrt{3x})(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{3x})^2 = x - 3x = -2x$.

Получаем дробь:

$\frac{(x-6)(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}{-2x}$

Для удобства можно избавиться от минуса в знаменателе, умножив на него числитель:

$\frac{-(x-6)(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}{2x} = \frac{(6-x)(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}{2x}$

Ответ: $\frac{(6-x)(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}{2x}$.