Номер 4.10, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.10. Разложите на множители выражение:

1) $a^2 - 5$;

2) $4a^2 - 7$;

3) $\sqrt{a} + \sqrt{3a}$;

4) $\sqrt{3c} - \sqrt{6c}$;

5) $c - 11\sqrt{c}$;

6) $\sqrt{12c} + \sqrt{28c}$.

1) Для разложения выражения $a^2 - 5$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим $5$ как квадратный корень из $5$ в квадрате: $5 = (\sqrt{5})^2$.
Тогда выражение принимает вид $a^2 - (\sqrt{5})^2$.
Применяя формулу, где $x = a$ и $y = \sqrt{5}$, получаем: $a^2 - (\sqrt{5})^2 = (a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$.
Ответ: $(a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$

2) Для выражения $4a^2 - 7$ также применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим $4a^2$ как $(2a)^2$ и $7$ как $(\sqrt{7})^2$.
Выражение становится $(2a)^2 - (\sqrt{7})^2$.
Здесь $x = 2a$ и $y = \sqrt{7}$.
Подставляя в формулу, получаем: $(2a - \sqrt{7})(2a + \sqrt{7})$.
Ответ: $(2a - \sqrt{7})(2a + \sqrt{7})$

3) В выражении $\sqrt{a} + \sqrt{3a}$ найдем общий множитель.
Используя свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, перепишем второй член: $\sqrt{3a} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{a}$.
Выражение принимает вид: $\sqrt{a} + \sqrt{3}\sqrt{a}$.
Общим множителем является $\sqrt{a}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{a}(1 + \sqrt{3})$.
Ответ: $\sqrt{a}(1 + \sqrt{3})$

4) В выражении $\sqrt{3c} - \sqrt{6c}$ найдем общий множитель.
Перепишем второй член: $\sqrt{6c} = \sqrt{2 \cdot 3c} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3c}$.
Выражение принимает вид: $\sqrt{3c} - \sqrt{2}\sqrt{3c}$.
Общий множитель здесь $\sqrt{3c}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{3c}(1 - \sqrt{2})$.
Ответ: $\sqrt{3c}(1 - \sqrt{2})$

5) В выражении $c - 11\sqrt{c}$ представим $c$ как $(\sqrt{c})^2$ (это возможно, так как по определению корня $c \ge 0$).
Получаем выражение $(\sqrt{c})^2 - 11\sqrt{c}$.
Общий множитель здесь $\sqrt{c}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{c}(\sqrt{c} - 11)$.
Ответ: $\sqrt{c}(\sqrt{c} - 11)$

6) В выражении $\sqrt{12c} + \sqrt{28c}$ сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.
$\sqrt{12c} = \sqrt{4 \cdot 3c} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3c} = 2\sqrt{3c}$.
$\sqrt{28c} = \sqrt{4 \cdot 7c} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7c} = 2\sqrt{7c}$.
Выражение принимает вид: $2\sqrt{3c} + 2\sqrt{7c}$.
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $2\sqrt{c}$, так как $\sqrt{3c} = \sqrt{3}\sqrt{c}$ и $\sqrt{7c} = \sqrt{7}\sqrt{c}$.
Получаем: $2\sqrt{c}(\sqrt{3} + \sqrt{7})$.
Ответ: $2\sqrt{c}(\sqrt{3} + \sqrt{7})$