Страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.2. Упростите выражение:

1) $\sqrt{49a^2}$;

2) $\sqrt{75a^2}$ при $a < 0$;

3) $\sqrt{1,21y^2}$ при $y < 0$;

4) $-2 \cdot \sqrt{\frac{c^2}{1,44}} + 2|c|$ при $c < 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{49a^2}$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $49a^2 = (7a)^2$.
Тогда $\sqrt{49a^2} = \sqrt{(7a)^2} = |7a|$.
Так как $7 > 0$, то $|7a| = 7|a|$.
Поскольку в условии не указан знак переменной a, выражение остается с модулем.
Ответ: $7|a|$.

2) Упростим выражение $\sqrt{75a^2}$ при условии $a < 0$.
Сначала вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{75a^2} = \sqrt{25 \cdot 3 \cdot a^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3} = 5|a|\sqrt{3}$.
По определению модуля, если $a < 0$, то $|a| = -a$.
Подставим это в наше выражение: $5(-a)\sqrt{3} = -5a\sqrt{3}$.
Ответ: $-5a\sqrt{3}$.

3) Упростим выражение $\sqrt{1,21y^2}$ при условии $y < 0$.
Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{1,21y^2} = \sqrt{(1,1y)^2} = |1,1y| = 1,1|y|$.
Так как по условию $y < 0$, то $|y| = -y$.
Подставляем и получаем: $1,1(-y) = -1,1y$.
Ответ: $-1,1y$.

4) Упростим выражение $-2 \cdot \sqrt{\frac{c^2}{1,44}} + 2|c|$ при условии $c < 0$.
Сначала упростим член с корнем: $\sqrt{\frac{c^2}{1,44}} = \sqrt{(\frac{c}{1,2})^2} = |\frac{c}{1,2}| = \frac{|c|}{1,2}$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $-2 \cdot \frac{|c|}{1,2} + 2|c|$.
Вынесем общий множитель $|c|$ за скобки: $|c| \cdot (-\frac{2}{1,2} + 2)$.
Вычислим значение в скобках: $-\frac{2}{1,2} + 2 = -\frac{20}{12} + 2 = -\frac{5}{3} + \frac{6}{3} = \frac{1}{3}$.
Выражение равно $|c| \cdot \frac{1}{3}$.
По условию $c < 0$, следовательно $|c| = -c$.
Подставляя, получаем: $-c \cdot \frac{1}{3} = -\frac{c}{3}$.
Ответ: $-\frac{c}{3}$.

4.3. Вычислите:

1) $\sqrt{(-3)^6}$;

2) $\sqrt{2^2 \cdot (-8)^2}$;

3) $-3\sqrt{(-12)^4}$;

4) $-\sqrt{5^2 \cdot 14^4}$.

1) Для вычисления выражения $\sqrt{(-3)^6}$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. В данном случае $a = -3$ и $2k=6$, значит $k=3$.
$\sqrt{(-3)^6} = |(-3)^3| = |-27| = 27$.
Также можно сначала учесть, что степень чётная, поэтому $(-3)^6 = 3^6$. Тогда выражение принимает вид $\sqrt{3^6}$.
$\sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = 3^3 = 27$.
Ответ: 27

2) Для вычисления $\sqrt{2^2 \cdot (-8)^2}$ используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$). Так как $2^2 > 0$ и $(-8)^2 > 0$, это свойство применимо.
$\sqrt{2^2 \cdot (-8)^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{(-8)^2}$.
Теперь используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{(-8)^2} = |2| \cdot |-8| = 2 \cdot 8 = 16$.
Ответ: 16

3) В выражении $-3\sqrt{(-12)^4}$ сначала упростим корень. Так как показатель степени 4 — чётное число, то $(-12)^4 = 12^4$.
Выражение можно переписать как $-3\sqrt{12^4}$.
Далее используем свойство $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ для $a \ge 0$. Здесь $a=12$ и $2k=4$, значит $k=2$.
$\sqrt{12^4} = \sqrt{(12^2)^2} = 12^2 = 144$.
Теперь умножим полученный результат на коэффициент $-3$:
$-3 \cdot 144 = -432$.
Ответ: -432

4) В выражении $-\sqrt{5^2 \cdot 14^4}$ сначала вычислим значение корня, используя свойство корня из произведения.
$\sqrt{5^2 \cdot 14^4} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{14^4}$.
Вычислим каждый множитель отдельно:
$\sqrt{5^2} = |5| = 5$.
$\sqrt{14^4} = \sqrt{(14^2)^2} = |14^2| = 14^2 = 196$.
Результат извлечения корня: $5 \cdot 196 = 980$.
Учитывая знак "минус" перед корнем, получаем окончательный Ответ: $-980$.
Ответ: -980

4.4. Сравните значения выражений:

1) $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$;

2) $2\sqrt{5}$ и $3\sqrt{2}$;

3) $\sqrt{23}$ и $2\sqrt{6}$;

4) $\frac{2}{3}\sqrt{72}$ и $13\sqrt{\frac{2}{3}}$.

1) $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$;
Чтобы сравнить значения выражений, необходимо привести их к одинаковому виду, внеся множитель под знак квадратного корня. Для положительных чисел $a$ и $b$ используется формула $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$.
Преобразуем первое выражение:
$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.
Преобразуем второе выражение:
$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.
Теперь сравним полученные подкоренные выражения. Так как функция $y = \sqrt{x}$ возрастающая, то чем больше значение подкоренного выражения, тем больше значение самого корня.
Сравниваем: $12 < 18$.
Следовательно, $\sqrt{12} < \sqrt{18}$, а это значит, что $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

2) $2\sqrt{5}$ и $3\sqrt{2}$;
Внесем множители под знак корня для каждого выражения:
$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.
$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $20 > 18$.
Отсюда следует, что $\sqrt{20} > \sqrt{18}$, а значит $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$.

3) $\sqrt{23}$ и $2\sqrt{6}$;
Первое выражение уже представлено в виде корня. Внесем множитель под знак корня во втором выражении:
$2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}$.
Теперь сравним $\sqrt{23}$ и $\sqrt{24}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $23 < 24$.
Следовательно, $\sqrt{23} < \sqrt{24}$, а значит $\sqrt{23} < 2\sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{23} < 2\sqrt{6}$.

4) $\frac{2}{3}\sqrt{72}$ и $13\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Внесем множители под знак корня в обоих выражениях:
Для первого выражения:
$\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot \frac{72}{9}} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$.
Для второго выражения:
$13\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{13^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{169 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{338}{3}}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $32$ и $\frac{338}{3}$.
Чтобы сравнить числа, представим $\frac{338}{3}$ в виде смешанного числа: $\frac{338}{3} = 112\frac{2}{3}$.
Сравниваем $32$ и $112\frac{2}{3}$: $32 < 112\frac{2}{3}$.
Следовательно, $\sqrt{32} < \sqrt{\frac{338}{3}}$, а значит $\frac{2}{3}\sqrt{72} < 13\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $\frac{2}{3}\sqrt{72} < 13\sqrt{\frac{2}{3}}$.

4.5. Расположите в порядке убывания числа:

1) $2\sqrt{14}$, $5\sqrt{3}$, $3\sqrt{7}$, $7\sqrt{2}$, $\sqrt{73}$;

2) $3\sqrt{8}$, $\sqrt{79}$, $2\sqrt{22}$, $4\sqrt{5}$, $5\sqrt{5}$.

1) Чтобы расположить числа в порядке убывания, необходимо их сравнить. Так как все числа положительные, их можно сравнить, сравнив их квадраты: чем больше квадрат положительного числа, тем больше само число. Другой способ — внести множитель под знак корня и сравнить подкоренные выражения.

Возведем каждое число в квадрат:

$(2\sqrt{14})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{14})^2 = 4 \cdot 14 = 56$

$(5\sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$

$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$

$(7\sqrt{2})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$

$(\sqrt{73})^2 = 73$

Теперь сравним полученные квадраты: $56, 75, 63, 98, 73$.

Расположим их в порядке убывания: $98 > 75 > 73 > 63 > 56$.

Этому порядку соответствует следующий ряд исходных чисел: $7\sqrt{2} > 5\sqrt{3} > \sqrt{73} > 3\sqrt{7} > 2\sqrt{14}$.

Ответ: $7\sqrt{2}, 5\sqrt{3}, \sqrt{73}, 3\sqrt{7}, 2\sqrt{14}$.

2) Аналогично первому пункту, возведем все числа в квадрат, чтобы их сравнить.

$(3\sqrt{8})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{8})^2 = 9 \cdot 8 = 72$

$(\sqrt{79})^2 = 79$

$(2\sqrt{22})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{22})^2 = 4 \cdot 22 = 88$

$(4\sqrt{5})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$

$(5\sqrt{5})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 25 \cdot 5 = 125$

Сравним полученные квадраты: $72, 79, 88, 80, 125$.

Расположим их в порядке убывания: $125 > 88 > 80 > 79 > 72$.

Этому порядку соответствует следующий ряд исходных чисел: $5\sqrt{5} > 2\sqrt{22} > 4\sqrt{5} > \sqrt{79} > 3\sqrt{8}$.

Ответ: $5\sqrt{5}, 2\sqrt{22}, 4\sqrt{5}, \sqrt{79}, 3\sqrt{8}$.

Выполните действия (4.6–4.8):

4.6.1) $\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{27} - \sqrt{12}) - \sqrt{75}$;

2) $\sqrt{75} - 2\sqrt{3} \cdot (3 - 6\sqrt{12}) + 14$;

3) $(3\sqrt{5} - \sqrt{8}) \cdot (\sqrt{8} + 3\sqrt{5}) + \sqrt{48}$;

4) $(5\sqrt{5} - \sqrt{12}) \cdot (2 - \sqrt{5}) + 7\sqrt{3}$.

1)

Для решения выражения $\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{27} - \sqrt{12}) - \sqrt{75}$ сначала упростим корни, вынеся множители из-под знака корня.

Шаг 1: Упрощение корней.
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

Шаг 2: Подстановка упрощенных значений в исходное выражение.
$\sqrt{3} \cdot (2 \cdot 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot (6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - 5\sqrt{3}$

Шаг 3: Выполнение действий в скобках.
$6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (6-2)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Шаг 4: Умножение и вычитание.
$\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 4 \cdot 3 - 5\sqrt{3} = 12 - 5\sqrt{3}$

Ответ: $12 - 5\sqrt{3}$

2)

Для решения выражения $\sqrt{75} - 2\sqrt{3} \cdot (3 - 6\sqrt{12}) + 14$ также начнем с упрощения корней.

Шаг 1: Упрощение корней.
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Шаг 2: Подстановка упрощенных значений.
$5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot (3 - 6 \cdot 2\sqrt{3}) + 14 = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot (3 - 12\sqrt{3}) + 14$

Шаг 3: Раскрытие скобок.
$5\sqrt{3} - (2\sqrt{3} \cdot 3) - (2\sqrt{3} \cdot (-12\sqrt{3})) + 14 = 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 14$

Шаг 4: Приведение подобных слагаемых.
$5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 72 + 14 = (5-6)\sqrt{3} + (72+14) = -\sqrt{3} + 86$

Ответ: $86 - \sqrt{3}$

3)

Решим выражение $(3\sqrt{5} - \sqrt{8}) \cdot (\sqrt{8} + 3\sqrt{5}) + \sqrt{48}$.

Шаг 1: Заметим, что первая часть выражения является произведением разности и суммы двух чисел, $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 3\sqrt{5}$ и $b = \sqrt{8}$.
$(3\sqrt{5} - \sqrt{8})(3\sqrt{5} + \sqrt{8}) = (3\sqrt{5})^2 - (\sqrt{8})^2$

Шаг 2: Вычислим квадраты.
$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$
$(\sqrt{8})^2 = 8$
Результат произведения: $45 - 8 = 37$.

Шаг 3: Упростим $\sqrt{48}$.
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Шаг 4: Сложим полученные значения.
$37 + 4\sqrt{3}$

Ответ: $37 + 4\sqrt{3}$

4)

Решим выражение $(5\sqrt{5} - \sqrt{12}) \cdot (2 - \sqrt{5}) + 7\sqrt{3}$.

Шаг 1: Упростим корень $\sqrt{12}$.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Шаг 2: Подставим упрощенное значение в выражение.
$(5\sqrt{5} - 2\sqrt{3}) \cdot (2 - \sqrt{5}) + 7\sqrt{3}$

Шаг 3: Раскроем скобки, перемножив их содержимое.
$5\sqrt{5} \cdot 2 + 5\sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) - 2\sqrt{3} \cdot 2 - 2\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{5})$
$= 10\sqrt{5} - 5 \cdot 5 - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{15}$
$= 10\sqrt{5} - 25 - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{15}$

Шаг 4: Добавим оставшийся член и приведем подобные слагаемые.
$10\sqrt{5} - 25 - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{15} + 7\sqrt{3}$
$= 10\sqrt{5} - 25 + (-4+7)\sqrt{3} + 2\sqrt{15}$
$= 10\sqrt{5} - 25 + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}$

Ответ: $10\sqrt{5} - 25 + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}$

4.7.1) $(x + \sqrt{y})(x + \sqrt{y});$

2) $(\sqrt{x} + \sqrt{xy})^2;$

3) $(3\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2;$

4) $(4\sqrt{5}-7\sqrt{5})^2.$

1) Для решения данного примера раскроем скобки в выражении $(x + \sqrt{y})(x + \sqrt{y})$. Данное выражение эквивалентно квадрату суммы $(x + \sqrt{y})^2$. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае, $a=x$ и $b=\sqrt{y}$.
Подставим наши значения в формулу:
$(x + \sqrt{y})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{y} + (\sqrt{y})^2$
Поскольку $(\sqrt{y})^2 = y$, выражение упрощается до:
$x^2 + 2x\sqrt{y} + y$
Ответ: $x^2 + 2x\sqrt{y} + y$.

2) Чтобы решить пример $(\sqrt{x} + \sqrt{xy})^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В этом выражении $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{xy}$.
Применим формулу:
$(\sqrt{x} + \sqrt{xy})^2 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{xy} + (\sqrt{xy})^2$
Теперь упростим каждый член выражения:
Первый член: $(\sqrt{x})^2 = x$.
Третий член: $(\sqrt{xy})^2 = xy$.
Второй член: $2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{xy} = 2\sqrt{x \cdot xy} = 2\sqrt{x^2y}$. Так как в исходном выражении есть $\sqrt{x}$, то $x \ge 0$, поэтому $\sqrt{x^2} = x$. Таким образом, второй член равен $2x\sqrt{y}$.
Сложив все члены вместе, получаем:
$x + 2x\sqrt{y} + xy$
Ответ: $x + 2x\sqrt{y} + xy$.

3) Для того чтобы найти значение выражения $(3\sqrt{6} - 2\sqrt{3})^2$, используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=3\sqrt{6}$ и $b=2\sqrt{3}$.
Подставим значения в формулу:
$(3\sqrt{6} - 2\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{6})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{6}) \cdot (2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2$
Вычислим значение каждого члена по отдельности:
$(3\sqrt{6})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$.
$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.
$2 \cdot (3\sqrt{6}) \cdot (2\sqrt{3}) = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{6 \cdot 3} = 12\sqrt{18}$. Упростим радикал: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9}\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Тогда средний член равен $12 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$.
Теперь объединим все части:
$54 - 36\sqrt{2} + 12 = (54+12) - 36\sqrt{2} = 66 - 36\sqrt{2}$.
Ответ: $66 - 36\sqrt{2}$.

4) Для вычисления выражения $(4\sqrt{5} - 7\sqrt{5})^2$ сначала упростим выражение внутри скобок. Оба члена содержат одинаковый множитель $\sqrt{5}$, поэтому мы можем их вычесть.
$4\sqrt{5} - 7\sqrt{5} = (4-7)\sqrt{5} = -3\sqrt{5}$
Теперь возведем полученный результат в квадрат:
$(-3\sqrt{5})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{5})^2$
Вычисляем квадраты:
$(-3)^2 = 9$
$(\sqrt{5})^2 = 5$
Перемножаем результаты: $9 \cdot 5 = 45$.
Ответ: $45$.

4.8. 1) $(\sqrt{15+3\sqrt{5}})^2 - 30\sqrt{3};$

2) $(\sqrt{4-\sqrt{7}}+\sqrt{\sqrt{7}+4})^2;$

3) $(\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2;$

4) $(\sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}})^2.$

1)Для решения этого выражения раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а затем выполним вычитание.
Пусть $a = \sqrt{15}$ и $b = 3\sqrt{5}$.
$(\sqrt{15}+3\sqrt{5})^2 - 30\sqrt{3} = (\sqrt{15})^2 + 2 \cdot \sqrt{15} \cdot 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 - 30\sqrt{3}$
Вычислим каждый член в скобках:
$(\sqrt{15})^2 = 15$
$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$
$2 \cdot \sqrt{15} \cdot 3\sqrt{5} = 6 \cdot \sqrt{15 \cdot 5} = 6\sqrt{75}$
Упростим корень: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
Тогда удвоенное произведение равно $6 \cdot 5\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$.
Подставим все значения обратно в выражение:
$15 + 30\sqrt{3} + 45 - 30\sqrt{3}$
Сгруппируем подобные члены: $(15 + 45) + (30\sqrt{3} - 30\sqrt{3}) = 60 + 0 = 60$.
Ответ: 60

2)Для упрощения этого выражения используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{4-\sqrt{7}}$ и $b = \sqrt{4+\sqrt{7}}$.
$(\sqrt{4-\sqrt{7}} + \sqrt{4+\sqrt{7}})^2 = (\sqrt{4-\sqrt{7}})^2 + 2 \cdot \sqrt{4-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}} + (\sqrt{4+\sqrt{7}})^2$
$a^2 = (\sqrt{4-\sqrt{7}})^2 = 4-\sqrt{7}$
$b^2 = (\sqrt{4+\sqrt{7}})^2 = 4+\sqrt{7}$
$2ab = 2 \cdot \sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$
Выражение под корнем является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7}) = 4^2 - (\sqrt{7})^2 = 16 - 7 = 9$.
Тогда $2ab = 2 \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$.
Сложим все полученные части:
$(4-\sqrt{7}) + 6 + (4+\sqrt{7}) = 4 - \sqrt{7} + 6 + 4 + \sqrt{7} = 4+6+4 = 14$.
Ответ: 14

3)Это выражение также можно упростить по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{5-2\sqrt{6}}$ и $b = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$.
$(\sqrt{5-2\sqrt{6}} + \sqrt{5+2\sqrt{6}})^2 = (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 + 2 \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5+2\sqrt{6}} + (\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2$
$a^2 = (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 = 5-2\sqrt{6}$
$b^2 = (\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2 = 5+2\sqrt{6}$
$2ab = 2 \cdot \sqrt{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}$
Применяем формулу разности квадратов:
$(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.
Следовательно, $2ab = 2 \cdot \sqrt{1} = 2$.
Складываем все части:
$(5-2\sqrt{6}) + 2 + (5+2\sqrt{6}) = 5 - 2\sqrt{6} + 2 + 5 + 2\sqrt{6} = 5+2+5 = 12$.
Ответ: 12

4)Здесь мы используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{6+\sqrt{11}}$ и $b = \sqrt{6-\sqrt{11}}$.
$(\sqrt{6+\sqrt{11}} - \sqrt{6-\sqrt{11}})^2 = (\sqrt{6+\sqrt{11}})^2 - 2 \cdot \sqrt{6+\sqrt{11}} \cdot \sqrt{6-\sqrt{11}} + (\sqrt{6-\sqrt{11}})^2$
$a^2 = (\sqrt{6+\sqrt{11}})^2 = 6+\sqrt{11}$
$b^2 = (\sqrt{6-\sqrt{11}})^2 = 6-\sqrt{11}$
$2ab = 2 \cdot \sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})}$
Используем формулу разности квадратов:
$(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11}) = 6^2 - (\sqrt{11})^2 = 36 - 11 = 25$.
Тогда $2ab = 2 \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$.
Подставляем все значения в исходное выражение:
$(6+\sqrt{11}) - 10 + (6-\sqrt{11}) = 6 + \sqrt{11} - 10 + 6 - \sqrt{11} = 6 - 10 + 6 = 2$.
Ответ: 2

4.9. Преобразуйте выражение:

1) $(2 - \sqrt{a})(2 + \sqrt{a}) - 4;$
2) $(3 - \sqrt{2a})(3 + \sqrt{2a}) + 4a;$
3) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{a})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{a});$
4) $(2\sqrt{7} - \sqrt{7a})(2\sqrt{7} + \sqrt{7a}).$

1) Для преобразования произведения $(2 - \sqrt{a})(2 + \sqrt{a})$ воспользуемся формулой разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В данном выражении $x = 2$ и $y = \sqrt{a}$.
$(2 - \sqrt{a})(2 + \sqrt{a}) - 4 = (2^2 - (\sqrt{a})^2) - 4 = (4 - a) - 4 = 4 - a - 4 = -a$.
Ответ: $-a$.

2) Для преобразования произведения $(3 - \sqrt{2a})(3 + \sqrt{2a})$ воспользуемся формулой разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Здесь $x = 3$ и $y = \sqrt{2a}$.
$(3 - \sqrt{2a})(3 + \sqrt{2a}) + 4a = (3^2 - (\sqrt{2a})^2) + 4a = (9 - 2a) + 4a = 9 - 2a + 4a = 9 + 2a$.
Ответ: $9 + 2a$.

3) Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В этом случае $x = 2\sqrt{3}$ и $y = 3\sqrt{a}$.
$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{a})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{a}) = (2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{a})^2 = (2^2 \cdot (\sqrt{3})^2) - (3^2 \cdot (\sqrt{a})^2) = (4 \cdot 3) - (9 \cdot a) = 12 - 9a$.
Ответ: $12 - 9a$.

4) Снова применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Здесь $x = 2\sqrt{7}$ и $y = \sqrt{7a}$.
$(2\sqrt{7} - \sqrt{7a})(2\sqrt{7} + \sqrt{7a}) = (2\sqrt{7})^2 - (\sqrt{7a})^2 = (2^2 \cdot (\sqrt{7})^2) - 7a = (4 \cdot 7) - 7a = 28 - 7a$.
Ответ: $28 - 7a$.

4.10. Разложите на множители выражение:

1) $a^2 - 5$;

2) $4a^2 - 7$;

3) $\sqrt{a} + \sqrt{3a}$;

4) $\sqrt{3c} - \sqrt{6c}$;

5) $c - 11\sqrt{c}$;

6) $\sqrt{12c} + \sqrt{28c}$.

1) Для разложения выражения $a^2 - 5$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим $5$ как квадратный корень из $5$ в квадрате: $5 = (\sqrt{5})^2$.
Тогда выражение принимает вид $a^2 - (\sqrt{5})^2$.
Применяя формулу, где $x = a$ и $y = \sqrt{5}$, получаем: $a^2 - (\sqrt{5})^2 = (a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$.
Ответ: $(a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$

2) Для выражения $4a^2 - 7$ также применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим $4a^2$ как $(2a)^2$ и $7$ как $(\sqrt{7})^2$.
Выражение становится $(2a)^2 - (\sqrt{7})^2$.
Здесь $x = 2a$ и $y = \sqrt{7}$.
Подставляя в формулу, получаем: $(2a - \sqrt{7})(2a + \sqrt{7})$.
Ответ: $(2a - \sqrt{7})(2a + \sqrt{7})$

3) В выражении $\sqrt{a} + \sqrt{3a}$ найдем общий множитель.
Используя свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, перепишем второй член: $\sqrt{3a} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{a}$.
Выражение принимает вид: $\sqrt{a} + \sqrt{3}\sqrt{a}$.
Общим множителем является $\sqrt{a}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{a}(1 + \sqrt{3})$.
Ответ: $\sqrt{a}(1 + \sqrt{3})$

4) В выражении $\sqrt{3c} - \sqrt{6c}$ найдем общий множитель.
Перепишем второй член: $\sqrt{6c} = \sqrt{2 \cdot 3c} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3c}$.
Выражение принимает вид: $\sqrt{3c} - \sqrt{2}\sqrt{3c}$.
Общий множитель здесь $\sqrt{3c}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{3c}(1 - \sqrt{2})$.
Ответ: $\sqrt{3c}(1 - \sqrt{2})$

5) В выражении $c - 11\sqrt{c}$ представим $c$ как $(\sqrt{c})^2$ (это возможно, так как по определению корня $c \ge 0$).
Получаем выражение $(\sqrt{c})^2 - 11\sqrt{c}$.
Общий множитель здесь $\sqrt{c}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{c}(\sqrt{c} - 11)$.
Ответ: $\sqrt{c}(\sqrt{c} - 11)$

6) В выражении $\sqrt{12c} + \sqrt{28c}$ сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.
$\sqrt{12c} = \sqrt{4 \cdot 3c} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3c} = 2\sqrt{3c}$.
$\sqrt{28c} = \sqrt{4 \cdot 7c} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7c} = 2\sqrt{7c}$.
Выражение принимает вид: $2\sqrt{3c} + 2\sqrt{7c}$.
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $2\sqrt{c}$, так как $\sqrt{3c} = \sqrt{3}\sqrt{c}$ и $\sqrt{7c} = \sqrt{7}\sqrt{c}$.
Получаем: $2\sqrt{c}(\sqrt{3} + \sqrt{7})$.
Ответ: $2\sqrt{c}(\sqrt{3} + \sqrt{7})$