Страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. На каких свойствах арифметических квадратных корней основано вынесение общего множителя из-под знака корня? Приведите пример.

2. Что означает: освободиться от иррациональности в числителе или знаменателе дроби?

1. Вынесение множителя из-под знака корня основано на свойстве корня из произведения. Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедлива следующая теорема: корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.
Математически это свойство записывается так: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a \geq 0$ и $b \geq 0$.
Чтобы вынести множитель из-под знака корня, нужно подкоренное выражение представить в виде произведения множителей, один из которых (или несколько) является точным квадратом. Затем применяется указанное свойство.
Пример: Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{72}$.
1. Представим число 72 в виде произведения множителей, где один из множителей является наибольшим возможным точным квадратом. $72 = 36 \cdot 2$. Число 36 является точным квадратом ($36 = 6^2$).
2. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}$.
3. Извлечем корень из множителя, который является точным квадратом: $\sqrt{36} = 6$.
4. Получаем окончательный результат: $6\sqrt{2}$.
Ответ: Вынесение множителя из-под знака корня основано на свойстве $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$). Пример: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

2. «Освободиться от иррациональности в числителе или знаменателе дроби» — это значит преобразовать дробь к равному ей выражению, которое не будет содержать знака корня (радикала) в указанной части дроби (числителе или знаменателе).
Это преобразование выполняется путем умножения и числителя, и знаменателя дроби на одно и то же специально подобранное выражение (отличное от нуля), называемое сопряженным множителем. Такое умножение не меняет значения дроби, так как по сути является умножением на единицу.
Примеры:
1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5}{\sqrt{3}}$.
Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$.
Знаменатель новой дроби (число 3) не содержит корня.
2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$.
Здесь знаменатель является разностью корней. Чтобы от нее избавиться, используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{7} + \sqrt{5}$:
$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} + \sqrt{5}$.
В результате мы получили выражение, не содержащее дроби и иррациональности в знаменателе.
Ответ: Это означает преобразовать дробь в равную ей, но без знака корня в числителе или знаменателе соответственно. Это достигается умножением числителя и знаменателя на одно и то же выражение, которое устраняет корень.

4.1. Замените тождественно равным выражением:

1) $\sqrt{a^2}$;

2) $\sqrt{0.0121c^2}$, $c \geq 0$;

3) $\sqrt{0.0256c^2}$, $c \leq 0$;

4) $-5\sqrt{0.36x^2}$, $x < 0$.

1) $\sqrt{a^2}$

Основное свойство арифметического квадратного корня заключается в тождестве $\sqrt{x^2} = |x|$, где $|x|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $x$. Модуль числа $a$ равен самому числу $a$, если $a$ неотрицательно ($a \ge 0$), и равен противоположному числу $-a$, если $a$ отрицательно ($a < 0$). Поскольку в данном случае нет информации о знаке переменной $a$, выражение нельзя упростить дальше, чем модуль $a$.

Ответ: $|a|$.

2) $\sqrt{0,0121c^2}$, $c \ge 0$

Сначала преобразуем подкоренное выражение: $0,0121 = 0,11^2$, поэтому $0,0121c^2 = (0,11c)^2$.

Теперь применим тождество $\sqrt{x^2} = |x|$: $\sqrt{0,0121c^2} = \sqrt{(0,11c)^2} = |0,11c|$.

По условию задачи дано, что $c \ge 0$. Это означает, что произведение $0,11c$ также является неотрицательным ($0,11c \ge 0$). Следовательно, по определению модуля, мы можем убрать знак модуля, оставив выражение без изменений: $|0,11c| = 0,11c$.

Ответ: $0,11c$.

3) $\sqrt{0,0256c^2}$, $c \le 0$

Преобразуем выражение под знаком корня. Поскольку $0,16^2 = 0,0256$, то $0,0256c^2 = (0,16c)^2$.

Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$: $\sqrt{0,0256c^2} = \sqrt{(0,16c)^2} = |0,16c|$.

В условии указано, что $c \le 0$. Это значит, что выражение $0,16c$ является неположительным ($0,16c \le 0$). По определению модуля, для любого неположительного числа $y$ выполняется равенство $|y| = -y$. Применяя это правило, получаем: $|0,16c| = -(0,16c) = -0,16c$.

Ответ: $-0,16c$.

4) $-5\sqrt{0,36x^2}$, $x < 0$

Сначала упростим выражение под корнем. Так как $0,6^2 = 0,36$, то $0,36x^2 = (0,6x)^2$.

Подставим это в исходное выражение: $-5\sqrt{(0,6x)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{y^2} = |y|$, получим: $-5\sqrt{(0,6x)^2} = -5 \cdot |0,6x|$.

Из условия мы знаем, что $x < 0$. Следовательно, произведение $0,6x$ также будет отрицательным. Для отрицательных чисел модуль раскрывается с противоположным знаком: $|0,6x| = -(0,6x) = -0,6x$.

Теперь подставим раскрытый модуль обратно в выражение: $-5 \cdot (-0,6x) = (-5 \cdot -0,6) \cdot x = 3x$.

Ответ: $3x$.