Страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.17.

1) $x^2 - 0,002809 = 0;$

2) $3,286x^2 = 0;$

3) $2x^2 - 48,096 = 0;$

4) $(x - 4)^2 - 28,09 = 0.$

1) $x^2 - 0,002809 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем константу в правую часть уравнения:

$x^2 = 0,002809$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как $0,002809 > 0$, уравнение имеет два корня:

$x = \pm\sqrt{0,002809}$

Для вычисления корня заметим, что $53^2 = 2809$. В исходном числе $0,002809$ шесть знаков после запятой, значит в его квадратном корне будет в два раза меньше, то есть три знака после запятой. Таким образом, $\sqrt{0,002809} = 0,053$.

Получаем два корня:

$x_1 = 0,053$ и $x_2 = -0,053$.

Ответ: $x_1 = 0,053, x_2 = -0,053$.

2) $3,286x^2 = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Поскольку $3,286 \neq 0$, то необходимо, чтобы $x^2=0$.

$x^2 = 0$

Отсюда следует, что уравнение имеет единственный корень:

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

3) $2x^2 - 48,096 = 0$

Примечание: В условии этого пункта, скорее всего, допущена опечатка. Числа в подобных заданиях обычно подбираются так, чтобы корень извлекался нацело (в виде конечной десятичной дроби). В оригинальном задачнике (С.М. Никольский и др., Алгебра 8 кл., 3.17) это уравнение имеет вид $2x^2 - 48,02 = 0$. Решим исправленный вариант, так как он более вероятен в контексте школьной программы.

Решаем уравнение $2x^2 - 48,02 = 0$.

Сначала выразим $x^2$:

$2x^2 = 48,02$

$x^2 = \frac{48,02}{2}$

$x^2 = 24,01$

Теперь извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{24,01}$

Поскольку $49^2 = 2401$, то $\sqrt{24,01} = 4,9$.

Корни уравнения: $x_1 = 4,9$ и $x_2 = -4,9$.

Ответ: $x_1 = 4,9, x_2 = -4,9$.

4) $(x - 4)^2 - 28,09 = 0$

Выразим квадратный двучлен, перенеся константу вправо:

$(x - 4)^2 = 28,09$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x - 4 = \pm\sqrt{28,09}$

Мы знаем, что $53^2 = 2809$, поэтому $\sqrt{28,09} = 5,3$.

Уравнение распадается на два линейных:

1) $x - 4 = 5,3$

$x_1 = 5,3 + 4$

$x_1 = 9,3$

2) $x - 4 = -5,3$

$x_2 = -5,3 + 4$

$x_2 = -1,3$

Ответ: $x_1 = 9,3, x_2 = -1,3$.

3.18. С помощью графика функции $y = x^2$ найдите приближенные значения корней уравнения:

1) $x^2 = 5$;

2) $3x^2 = 1,2$;

3) $\frac{1}{3}x^2 = 0,6$;

4) $4x^2 - 5 = 0$.

Для решения данных уравнений с помощью графика функции $y=x^2$ необходимо каждое уравнение привести к виду $x^2 = c$, где $c$ — некоторое число. Корни исходного уравнения будут равны абсциссам (координатам $x$) точек пересечения графика параболы $y=x^2$ и горизонтальной прямой $y=c$. Если $c > 0$, уравнение будет иметь два симметричных корня ($x_1$ и $-x_1$). Если $c=0$, корень будет один ($x=0$). Если $c < 0$, действительных корней у уравнения нет.

Ниже представлен график функции $y=x^2$ и вспомогательные прямые для нахождения корней каждого уравнения.

1) $x^2 = 5$

Данное уравнение уже представлено в виде $x^2 = c$, где $c=5$. На графике находим точки пересечения параболы $y=x^2$ и прямой $y=5$ (показана красным цветом). Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения. По графику видно, что прямая пересекает параболу в двух точках, абсциссы которых приблизительно равны $2,2$ и $-2,2$. Ответ: $x_{1,2} \approx \pm 2,2$.

2) $3x^2 = 1,2$

Сначала приводим уравнение к виду $x^2=c$. Для этого разделим обе части уравнения на 3: $x^2 = \frac{1,2}{3}$, что дает $x^2 = 0,4$. Теперь находим на графике точки пересечения параболы $y=x^2$ и прямой $y=0,4$ (показана зеленым цветом). По графику определяем, что абсциссы точек пересечения приблизительно равны $0,6$ и $-0,6$. Ответ: $x_{1,2} \approx \pm 0,6$.

3) $\frac{1}{3}x^2 = 0,6$

Приведем уравнение к виду $x^2=c$. Для этого умножим обе части уравнения на 3: $x^2 = 0,6 \cdot 3$, что дает $x^2 = 1,8$. Проводим на графике прямую $y=1,8$ (показана фиолетовым цветом) и находим абсциссы ее точек пересечения с параболой. Из графика видно, что корни приблизительно равны $1,3$ и $-1,3$. Ответ: $x_{1,2} \approx \pm 1,3$.

4) $4x^2 - 5 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^2=c$. Сначала перенесем $-5$ в правую часть: $4x^2=5$. Затем разделим обе части на 4: $x^2 = \frac{5}{4}$, что равно $x^2=1,25$. Находим на графике точки пересечения параболы $y=x^2$ и прямой $y=1,25$ (показана оранжевым цветом). Абсциссы этих точек приблизительно равны $1,1$ и $-1,1$. Ответ: $x_{1,2} \approx \pm 1,1$.

3.19. Вычислите:

1) $((\sqrt{3})^2)^3$;

2) $(-(-\sqrt{2})^2)^3$;

3) $(-\frac{1}{5}(\sqrt{5})^2)^3$;

4) $(-\frac{1}{2}(\sqrt{3})^{-1})^6$.

1) Чтобы вычислить данное выражение, воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(( \sqrt{3} )^2)^3 = ( \sqrt{3} )^{2 \cdot 3} = ( \sqrt{3} )^6$
Так как $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, то:
$( 3^{\frac{1}{2}} )^6 = 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 3^3 = 27$
Другой способ — пошаговое вычисление. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках:
$( \sqrt{3} )^2 = 3$
Затем полученный результат возведем в куб:
$3^3 = 27$
Ответ: 27

2) Вычислим выражение по шагам, начиная с самых внутренних скобок.
Сначала возведем в квадрат $-\sqrt{2}$:
$(-\sqrt{2})^2 = (-\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{2}) = 2$
Теперь выражение выглядит так:
$(-(2))^3 = (-2)^3$
Возводим -2 в третью степень:
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
Ответ: -8

3) Сначала упростим выражение внутри внешних скобок.
Вычислим $(\sqrt{5})^2$:
$(\sqrt{5})^2 = 5$
Теперь умножим результат на $-\frac{1}{5}$:
$-\frac{1}{5} \cdot 5 = -1$
Полученное значение возведем в третью степень:
$(-1)^3 = -1$
Таким образом, $((-\frac{1}{5}(\sqrt{5})^2)^3) = (-1)^3 = -1$.
Ответ: -1

4) Упростим выражение в скобках. Сначала разберемся с отрицательной степенью.
$(\sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Теперь выражение в скобках принимает вид:
$-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$
Возведем полученный результат в шестую степень:
$(-\frac{1}{2\sqrt{3}})^6$
Так как степень четная (6), отрицательный знак исчезает:
$(\frac{1}{2\sqrt{3}})^6 = \frac{1^6}{(2\sqrt{3})^6} = \frac{1}{2^6 \cdot (\sqrt{3})^6}$
Вычислим знаменатель:
$2^6 = 64$
$(\sqrt{3})^6 = ((\sqrt{3})^2)^3 = 3^3 = 27$
Теперь перемножим значения в знаменателе:
$64 \cdot 27 = 1728$
Итоговый результат:
$\frac{1}{1728}$
Ответ: $\frac{1}{1728}$

3.20. Пользуясь таблицей квадратов двузначных чисел, вычислите:

1) $0,1 \cdot \sqrt{23,04}$;

2) $-0,2 \cdot \sqrt{7,84} - \frac{1}{3}\sqrt{10,89}$;

3) $5 \cdot \sqrt{3,61} - \frac{1}{5}\sqrt{8,41}$;

4) $3 \cdot \frac{1}{\sqrt{81}} - \frac{1}{4}\sqrt{256}$.

1) $0,1 \cdot \sqrt{23,04}$
Для вычисления значения выражения преобразуем подкоренное выражение и воспользуемся таблицей квадратов двузначных чисел.Представим $23,04$ в виде дроби: $23,04 = \frac{2304}{100}$.
Тогда $\sqrt{23,04} = \sqrt{\frac{2304}{100}} = \frac{\sqrt{2304}}{\sqrt{100}}$.
По таблице квадратов находим, что $48^2 = 2304$, значит $\sqrt{2304} = 48$.
Следовательно, $\sqrt{23,04} = \frac{48}{10} = 4,8$.
Теперь вычислим значение исходного выражения:
$0,1 \cdot 4,8 = 0,48$.
Ответ: $0,48$.

2) $-0,2 \cdot \sqrt{7,84} - \frac{1}{3} \cdot \sqrt{10,89}$
Вычислим значение каждого корня отдельно, используя таблицу квадратов.
1. $\sqrt{7,84} = \sqrt{\frac{784}{100}} = \frac{\sqrt{784}}{\sqrt{100}}$. По таблице квадратов $28^2 = 784$, значит $\sqrt{784} = 28$. Получаем $\sqrt{7,84} = \frac{28}{10} = 2,8$.
2. $\sqrt{10,89} = \sqrt{\frac{1089}{100}} = \frac{\sqrt{1089}}{\sqrt{100}}$. По таблице квадратов $33^2 = 1089$, значит $\sqrt{1089} = 33$. Получаем $\sqrt{10,89} = \frac{33}{10} = 3,3$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$-0,2 \cdot 2,8 - \frac{1}{3} \cdot 3,3 = -0,56 - \frac{3,3}{3} = -0,56 - 1,1 = -1,66$.
Ответ: $-1,66$.

3) $5 \cdot \sqrt{3,61} - \frac{1}{5}\sqrt{8,41}$
Вычислим значение каждого корня отдельно, используя таблицу квадратов.
1. $\sqrt{3,61} = \sqrt{\frac{361}{100}} = \frac{\sqrt{361}}{\sqrt{100}}$. По таблице квадратов $19^2 = 361$, значит $\sqrt{361} = 19$. Получаем $\sqrt{3,61} = \frac{19}{10} = 1,9$.
2. $\sqrt{8,41} = \sqrt{\frac{841}{100}} = \frac{\sqrt{841}}{\sqrt{100}}$. По таблице квадратов $29^2 = 841$, значит $\sqrt{841} = 29$. Получаем $\sqrt{8,41} = \frac{29}{10} = 2,9$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$5 \cdot 1,9 - \frac{1}{5} \cdot 2,9 = 9,5 - \frac{2,9}{5} = 9,5 - 0,58 = 8,92$.
Ответ: $8,92$.

4) $3 \cdot \frac{1}{\sqrt{81}} - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{256}$
Вычислим значение каждого корня отдельно, используя таблицу квадратов.
1. $\sqrt{81}$. По таблице квадратов $9^2 = 81$, значит $\sqrt{81} = 9$.
2. $\sqrt{256}$. По таблице квадратов $16^2 = 256$, значит $\sqrt{256} = 16$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{4} \cdot 16 = \frac{3}{9} - \frac{16}{4} = \frac{1}{3} - 4$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{3} - \frac{4 \cdot 3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{12}{3} = \frac{1-12}{3} = -\frac{11}{3}$.
Ответ: $-\frac{11}{3}$.

3.21. Найдите значение переменной $x$, при котором верно равенство:

1) $\sqrt{-x} = 7$;

2) $-\sqrt{x} = 2,8$;

3) $\sqrt{-2x} + 8 = 0$;

4) $\sqrt{0,2x} - 1,2 = 0$.

1) Дано равенство $\sqrt{-x} = 7$.

Для решения этого уравнения необходимо избавиться от знака квадратного корня. Для этого возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sqrt{-x})^2 = 7^2$

$-x = 49$

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $-1$:

$x = -49$

Выполним проверку. Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение. Также необходимо помнить, что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. В нашем случае $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$. Значение $x = -49$ удовлетворяет этому условию.

Проверка: $\sqrt{-(-49)} = \sqrt{49} = 7$.

$7 = 7$.

Равенство верное.

Ответ: $x = -49$.

2) Дано равенство $-\sqrt{x} = 2,8$.

Умножим обе части равенства на $-1$:

$\sqrt{x} = -2,8$

По определению, арифметический квадратный корень из числа $x$ (обозначается $\sqrt{x}$) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x$. Это означает, что значение $\sqrt{x}$ всегда больше или равно нулю ($\sqrt{x} \ge 0$).

В нашем уравнении левая часть ($\sqrt{x}$) должна быть равна отрицательному числу ($-2,8$), что невозможно.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: решений нет.

3) Дано равенство $\sqrt{-2x} + 8 = 0$.

Для начала изолируем слагаемое с корнем. Перенесем $8$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$\sqrt{-2x} = -8$

Как и в предыдущем примере, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным числом. Левая часть уравнения $\sqrt{-2x}$ по определению неотрицательна, в то время как правая часть равна $-8$.

Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4) Дано равенство $\sqrt{0,2x} - 1,2 = 0$.

Перенесем $-1,2$ в правую часть равенства:

$\sqrt{0,2x} = 1,2$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{0,2x})^2 = (1,2)^2$

$0,2x = 1,44$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0,2$:

$x = \frac{1,44}{0,2}$

$x = \frac{14,4}{2}$

$x = 7,2$

Проверим, подставив найденное значение в исходное уравнение. Условие существования корня: $0,2x \ge 0 \implies x \ge 0$. Значение $x = 7,2$ удовлетворяет этому условию.

Проверка: $\sqrt{0,2 \cdot 7,2} - 1,2 = \sqrt{1,44} - 1,2 = 1,2 - 1,2 = 0$.

$0 = 0$.

Равенство верное.

Ответ: $x = 7,2$.

3.22. Имеет ли смысл выражение:

1) $7x$ при $x \ge 0;

2) $\sqrt{-2x - 4}$ при $x > 0;

3) $\sqrt{-12x + 3}$ при $x < 0;

4) $-0,01\sqrt{5x + 2,34}$ при $x > 0?$

1) Выражение $7x$ является произведением числа 7 на переменную $x$. Эта операция определена для любых действительных чисел $x$. Условие $x \ge 0$ лишь сужает область возможных значений $x$. Поскольку для любого $x$ из этого промежутка (например, $x=0$ или $x=5$) можно вычислить значение выражения $7x$, то выражение имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

2) Выражение $\sqrt{-2x - 4}$ содержит квадратный корень. Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: $-2x - 4 \ge 0$.

Решим это неравенство:

$-2x \ge 4$

При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -2$

Таким образом, выражение имеет смысл только при $x \le -2$. Однако, по условию задачи, дано, что $x > 0$. Множества значений $x \le -2$ и $x > 0$ не пересекаются. Это означает, что не существует такого значения $x$, которое удовлетворяло бы условию задачи и при котором выражение имело бы смысл.

Ответ: нет, не имеет смысла.

3) Для того чтобы выражение $\sqrt{-12x + 3}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-12x + 3 \ge 0$.

Решим неравенство:

$-12x \ge -3$

Разделим обе части на -12, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le \frac{-3}{-12}$

$x \le \frac{1}{4}$ или $x \le 0,25$

Выражение имеет смысл при $x \le 0,25$. По условию задачи, дано, что $x < 0$. Множество значений $x < 0$ является подмножеством множества $x \le 0,25$. Если $x$ - отрицательное число, то произведение $-12x$ будет положительным числом. Сумма положительного числа $(-12x)$ и положительного числа $3$ всегда будет положительной. Следовательно, для всех $x < 0$ подкоренное выражение положительно, и корень из него извлечь можно.

Ответ: да, имеет смысл.

4) Выражение $-0,01\sqrt{5x + 2,34}$ имеет смысл, если имеет смысл квадратный корень $\sqrt{5x + 2,34}$. Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5x + 2,34 \ge 0$.

Решим это неравенство:

$5x \ge -2,34$

$x \ge -\frac{2,34}{5}$

$x \ge -0,468$

Выражение имеет смысл при $x \ge -0,468$. По условию задачи, дано, что $x > 0$. Множество значений $x > 0$ является подмножеством множества $x \ge -0,468$. Если $x$ - положительное число, то произведение $5x$ также будет положительным. Сумма положительного числа ($5x$) и положительного числа $2,34$ всегда будет положительной. Таким образом, для всех $x > 0$ подкоренное выражение положительно, и выражение в целом имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

3.23. При каких значениях переменной a имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{3a} + \sqrt{-4a}$;

2) $2 - \sqrt{a^2 + 3}$;

3) $\sqrt{\frac{a}{|a|}} - 7$;

4) $\sqrt{-a^4 - 0,02}$?

1) Выражение $\sqrt{3a} + \sqrt{-4a}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны, то есть больше или равны нулю. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 3a \ge 0 \\ -4a \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. Из $3a \ge 0$ следует, что $a \ge 0$.

2. Из $-4a \ge 0$ следует, что $a \le 0$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный).

Теперь найдем пересечение решений $a \ge 0$ и $a \le 0$. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 0.

Ответ: $a = 0$.

2) Выражение $2 - \sqrt{a^2 + 3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$a^2 + 3 \ge 0$

Выражение $a^2$ всегда неотрицательно для любого действительного значения $a$, то есть $a^2 \ge 0$.

Следовательно, сумма $a^2 + 3$ всегда будет больше или равна 3, то есть $a^2 + 3 \ge 3$.

Так как $3 > 0$, то неравенство $a^2 + 3 \ge 0$ выполняется для любых действительных значений $a$.

Ответ: $a$ — любое действительное число.

3) Выражение $\sqrt{\frac{a}{|a|}} - 7$ имеет смысл, когда выполняются два условия:

1. Знаменатель не равен нулю: $|a| \ne 0$, что означает $a \ne 0$.

2. Подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{a}{|a|} \ge 0$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $a$:

• Если $a > 0$, то $|a| = a$. Тогда подкоренное выражение равно $\frac{a}{a} = 1$. Так как $1 \ge 0$, это условие выполняется. Значит, все $a > 0$ подходят.

• Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Тогда подкоренное выражение равно $\frac{a}{-a} = -1$. Так как $-1 < 0$, это условие не выполняется.

Объединяя результаты, получаем, что выражение имеет смысл только при $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

4) Выражение $\sqrt{-a^4 - 0,02}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$-a^4 - 0,02 \ge 0$

Рассмотрим выражение $a^4$. Так как степень четная, $a^4 \ge 0$ для любого действительного значения $a$.

Тогда $-a^4 \le 0$.

Следовательно, выражение $-a^4 - 0,02$ всегда будет отрицательным или, в лучшем случае, равным $-0,02$ (когда $a=0$). То есть $-a^4 - 0,02 \le -0,02$.

Неравенство $-a^4 - 0,02 \ge 0$ никогда не выполняется, так как левая часть всегда меньше или равна $-0,02$.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

3.24. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{|x|-3}$;

2) $\sqrt{-|x+5|-9}$;

3) $\sqrt{\frac{x^2}{x-4}}$;

4) $\sqrt{\frac{5-x}{|x|}}$;

5) $\sqrt{\frac{x+7}{|x-2|}}$;

6) $\sqrt{\frac{2x-3}{(x-3)^2}}$?

1) Выражение $\sqrt{|x|-3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $|x|-3 \ge 0$.

Перенесем 3 в правую часть неравенства: $|x| \ge 3$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 3$ или $x \le -3$.

Таким образом, решением является объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt{-|x+5|-9}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $-|x+5|-9 \ge 0$.

Перенесем $-|x+5|$ в правую часть: $-9 \ge |x+5|$, или $|x+5| \le -9$.

Поскольку модуль любого выражения является неотрицательной величиной ($|x+5| \ge 0$), а в правой части неравенства стоит отрицательное число, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: выражение не имеет смысла ни при каких значениях $x$.

3) Выражение $\sqrt{\frac{x^2}{x-4}}$ имеет смысл, когда выполняются два условия: подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.

1. Знаменатель не равен нулю: $x-4 \ne 0 \implies x \ne 4$.

2. Подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{x^2}{x-4} \ge 0$.

Числитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Он равен нулю при $x=0$. При $x \ne 0$, $x^2 > 0$.

Таким образом, знак дроби зависит от знака знаменателя $x-4$ (при $x \ne 0$). Чтобы дробь была положительной, необходимо, чтобы знаменатель был положительным: $x-4 > 0 \implies x > 4$.

Также нужно проверить случай, когда дробь равна нулю. Это возможно, если числитель равен нулю, а знаменатель нет. $x^2 = 0 \implies x = 0$. При $x=0$ знаменатель $0-4=-4 \ne 0$, значит $x=0$ является решением.

Объединяя условия, получаем $x > 4$ или $x = 0$.

Ответ: $x \in \{0\} \cup (4, +\infty)$.

4) Выражение $\sqrt{\frac{5-x}{|x|}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.

1. Знаменатель не равен нулю: $|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.

2. Подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{5-x}{|x|} \ge 0$.

Поскольку знаменатель $|x|$ всегда положителен при $x \ne 0$, знак дроби определяется знаком числителя $5-x$.

Следовательно, должно выполняться неравенство $5-x \ge 0$.

Решаем неравенство: $5 \ge x$, или $x \le 5$.

Учитывая условие $x \ne 0$, получаем искомое множество значений.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 5]$.

5) Выражение $\sqrt{\frac{x+7}{|x-2|}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.

1. Знаменатель не равен нулю: $|x-2| \ne 0 \implies x-2 \ne 0 \implies x \ne 2$.

2. Подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{x+7}{|x-2|} \ge 0$.

Поскольку знаменатель $|x-2|$ всегда положителен при $x \ne 2$, знак дроби определяется знаком числителя $x+7$.

Следовательно, должно выполняться неравенство $x+7 \ge 0$.

Решаем неравенство: $x \ge -7$.

Учитывая условие $x \ne 2$, получаем искомое множество значений.

Ответ: $x \in [-7, 2) \cup (2, +\infty)$.

6) Выражение $\sqrt{\frac{2x-3}{(x-3)^2}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.

1. Знаменатель не равен нулю: $(x-3)^2 \ne 0 \implies x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$.

2. Подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{2x-3}{(x-3)^2} \ge 0$.

Поскольку знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \ne 3$, знак дроби определяется знаком числителя $2x-3$.

Следовательно, должно выполняться неравенство $2x-3 \ge 0$.

Решаем неравенство: $2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$.

Учитывая условие $x \ne 3$, получаем искомое множество значений.

Ответ: $x \in [1.5, 3) \cup (3, +\infty)$.

3.25. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{75}} + \sqrt{0,64}$;

2) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{125}} + \sqrt{0,0484}$;

3) $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{96}} - \sqrt{256}$;

4) $-\frac{\sqrt{648}}{\sqrt{12}} + \sqrt{0,0081}$.

1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{75}} + \sqrt{0,64}$

Сначала упростим каждое слагаемое.Первое слагаемое $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{75}}$ можно записать как $\sqrt{\frac{3}{75}}$. Сократим дробь под корнем: $\frac{3}{75} = \frac{1}{25}$. Тогда $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$.Второе слагаемое $\sqrt{0,64}$. Поскольку $0,8^2 = 0,64$, то $\sqrt{0,64} = 0,8$.Теперь сложим полученные значения: $\frac{1}{5} + 0,8 = 0,2 + 0,8 = 1$.

Ответ: 1.

2) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{125}} + \sqrt{0,0484}$

Упростим первое слагаемое: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{125}} = \sqrt{\frac{5}{125}}$. Сокращаем дробь под корнем: $\frac{5}{125} = \frac{1}{25}$. Тогда $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$.Упростим второе слагаемое: $\sqrt{0,0484} = \sqrt{\frac{484}{10000}}$. Так как $22^2=484$ и $100^2=10000$, то $\sqrt{\frac{484}{10000}} = \frac{22}{100} = 0,22$.Сложим полученные результаты: $\frac{1}{5} + 0,22 = 0,2 + 0,22 = 0,42$.

Ответ: 0,42.

3) $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{96}} - \sqrt{256}$

Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{96}}$. Мы можем записать ее в виде $\sqrt{\frac{27}{96}}$. Сократим подкоренное выражение, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{27}{96} = \frac{9}{32}$.Получаем $\sqrt{\frac{9}{32}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{32}} = \frac{3}{\sqrt{16 \cdot 2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.Рассмотрим второе слагаемое: $\sqrt{256}$. Так как $16^2=256$, то $\sqrt{256} = 16$.Теперь выполним вычитание: $\frac{3}{4\sqrt{2}} - 16$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$: $\frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$.Выражение принимает вид $\frac{3\sqrt{2}}{8} - 16$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{8} - 16$.

4) $-\frac{\sqrt{648}}{\sqrt{12}} + \sqrt{0,0081}$

Упростим первое слагаемое $-\frac{\sqrt{648}}{\sqrt{12}}$. Запишем его как $-\sqrt{\frac{648}{12}}$. Выполним деление под корнем: $648 \div 12 = 54$. Получаем $-\sqrt{54}$. Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$. Таким образом, первое слагаемое равно $-3\sqrt{6}$.Упростим второе слагаемое $\sqrt{0,0081}$. Представим его в виде $\sqrt{\frac{81}{10000}}$. Извлекая корень, получаем $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{10000}} = \frac{9}{100} = 0,09$.Сложим полученные значения: $-3\sqrt{6} + 0,09$.

Ответ: $-3\sqrt{6} + 0,09$.