Страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.1. Извлеките квадратный корень:

1) $\sqrt{36 \cdot 49}$;

2) $\sqrt{64 \cdot 225}$;

3) $\sqrt{0,25 \cdot 196}$;

4) $\sqrt{\frac{16}{121}}$;

5) $\sqrt{1\frac{11}{25} \cdot \frac{100}{49}}$;

6) $\sqrt{2\frac{7}{81}}$;

7) $\sqrt{5\frac{1}{16}}$;

8) $\sqrt{144 \cdot 625}$;

9) $\sqrt{1,96 \cdot 8,41}$;

10) $\sqrt{4,84 \cdot 6,25}$.

1)

Чтобы извлечь квадратный корень из произведения, воспользуемся свойством корня: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

$\sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49}$

Зная, что $\sqrt{36}=6$ и $\sqrt{49}=7$, получаем:

$6 \cdot 7 = 42$

Ответ: $42$.

2)

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

$\sqrt{64 \cdot 225} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{225}$

Так как $\sqrt{64}=8$ и $\sqrt{225}=15$, то:

$8 \cdot 15 = 120$

Ответ: $120$.

3)

Применим свойство корня из произведения для десятичных дробей:

$\sqrt{0,25 \cdot 196} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{196}$

Квадратный корень из $0,25$ равен $0,5$ (так как $0,5^2 = 0,25$), а квадратный корень из $196$ равен $14$.

$0,5 \cdot 14 = 7$

Ответ: $7$.

4)

Для извлечения корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

$\sqrt{\frac{16}{121}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{121}} = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$.

5)

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{11}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 11}{25} = \frac{36}{25}$

Подставим полученную дробь в исходное выражение и применим свойства корня из произведения и корня из дроби:

$\sqrt{\frac{36}{25} \cdot \frac{100}{49}} = \sqrt{\frac{36}{25}} \cdot \sqrt{\frac{100}{49}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{49}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{10}{7}$

Перемножим полученные дроби и сократим:

$\frac{6 \cdot 10}{5 \cdot 7} = \frac{60}{35} = \frac{12 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{12}{7}$

Ответ: $\frac{12}{7}$.

6)

Преобразуем смешанное число $2\frac{7}{81}$ в неправильную дробь:

$2\frac{7}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 7}{81} = \frac{162 + 7}{81} = \frac{169}{81}$

Теперь извлечем корень из полученной дроби:

$\sqrt{\frac{169}{81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}} = \frac{13}{9}$

Ответ: $\frac{13}{9}$.

7)

Сначала представим смешанное число $5\frac{1}{16}$ в виде неправильной дроби:

$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$

Далее извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$.

8)

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

$\sqrt{144 \cdot 625} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{625}$

Зная, что $\sqrt{144}=12$ и $\sqrt{625}=25$, вычислим произведение:

$12 \cdot 25 = 300$

Ответ: $300$.

9)

Применим свойство корня из произведения:

$\sqrt{1,96 \cdot 8,41} = \sqrt{1,96} \cdot \sqrt{8,41}$

Извлечем корни из десятичных дробей: $\sqrt{1,96} = 1,4$ (так как $1,4^2=1,96$) и $\sqrt{8,41} = 2,9$ (так как $2,9^2=8,41$).

Вычислим произведение:

$1,4 \cdot 2,9 = 4,06$

Ответ: $4,06$.

10)

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{4,84 \cdot 6,25} = \sqrt{4,84} \cdot \sqrt{6,25}$

Извлечем корни: $\sqrt{4,84} = 2,2$ (так как $2,2^2=4,84$) и $\sqrt{6,25} = 2,5$ (так как $2,5^2=6,25$).

Вычислим произведение:

$2,2 \cdot 2,5 = 5,5$

Ответ: $5,5$.

3.2. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{16 \cdot 0,25 \cdot 121}$;

2) $\sqrt{1,96 \cdot 0,01 \cdot 400}$;

3) $\sqrt{1,96 \cdot \frac{9}{49} \cdot 1,44}$;

4) $\sqrt{2,25 \cdot \frac{196}{81} \cdot \frac{9}{25}}$.

1) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{16 \cdot 0.25 \cdot 121} $ воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $.
$ \sqrt{16 \cdot 0.25 \cdot 121} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{0.25} \cdot \sqrt{121} $.
Вычислим каждый корень по отдельности:
$ \sqrt{16} = 4 $
$ \sqrt{0.25} = 0.5 $
$ \sqrt{121} = 11 $
Теперь перемножим полученные значения:
$ 4 \cdot 0.5 \cdot 11 = 2 \cdot 11 = 22 $.
Ответ: 22

2) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{1.96 \cdot 0.01 \cdot 400} $ применим то же свойство корня из произведения.
$ \sqrt{1.96 \cdot 0.01 \cdot 400} = \sqrt{1.96} \cdot \sqrt{0.01} \cdot \sqrt{400} $.
Вычислим каждый корень:
$ \sqrt{1.96} = \sqrt{\frac{196}{100}} = \frac{14}{10} = 1.4 $
$ \sqrt{0.01} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} = 0.1 $
$ \sqrt{400} = 20 $
Перемножим результаты:
$ 1.4 \cdot 0.1 \cdot 20 = 0.14 \cdot 20 = 2.8 $.
Ответ: 2.8

3) Вычислим значение выражения $ \sqrt{1.96 \cdot \frac{9}{49} \cdot 1.44} $.
Используем свойство корня из произведения: $ \sqrt{1.96 \cdot \frac{9}{49} \cdot 1.44} = \sqrt{1.96} \cdot \sqrt{\frac{9}{49}} \cdot \sqrt{1.44} $.
Найдём значения корней:
$ \sqrt{1.96} = 1.4 $
$ \sqrt{\frac{9}{49}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{49}} = \frac{3}{7} $
$ \sqrt{1.44} = 1.2 $
Перемножим полученные значения. Для удобства представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $ 1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} $ и $ 1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} $.
$ \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{6}{5} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 6}{5 \cdot 7 \cdot 5} $. Сократим на 7: $ \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 5} = \frac{18}{25} $.
Переведем результат в десятичную дробь: $ \frac{18}{25} = \frac{18 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{72}{100} = 0.72 $.
Ответ: 0.72

4) Вычислим значение выражения $ \sqrt{2.25 \cdot \frac{196}{81} \cdot \frac{9}{25}} $.
Разложим корень на произведение корней: $ \sqrt{2.25} \cdot \sqrt{\frac{196}{81}} \cdot \sqrt{\frac{9}{25}} $.
Вычислим каждый корень:
$ \sqrt{2.25} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{15}{10} = 1.5 $
$ \sqrt{\frac{196}{81}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{81}} = \frac{14}{9} $
$ \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} $
Перемножим результаты. Представим $ 1.5 $ в виде дроби $ \frac{3}{2} $.
$ \frac{3}{2} \cdot \frac{14}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 14 \cdot 3}{2 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{9 \cdot 14}{18 \cdot 5} = \frac{1 \cdot 14}{2 \cdot 5} = \frac{14}{10} = 1.4 $.
Ответ: 1.4

3.3. Вычислите:

1) $\sqrt{360 \cdot 490}$;

2) $\sqrt{32 \cdot 72}$;

3) $\sqrt{125 \cdot 80}$;

4) $\sqrt{3.6 \cdot 810}$;

5) $\sqrt{275625}$;

6) $\sqrt{331776}$;

7) $\sqrt{45 \cdot 80 \cdot 0.16}$;

8) $\sqrt{98 \cdot 24 \cdot 27}$.

1) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{360 \cdot 490} $ воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $. Разложим подкоренные множители на удобные сомножители, которые являются полными квадратами.

$ \sqrt{360 \cdot 490} = \sqrt{(36 \cdot 10) \cdot (49 \cdot 10)} = \sqrt{36 \cdot 49 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{36 \cdot 49 \cdot 100} $

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$ \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{100} = 6 \cdot 7 \cdot 10 = 420 $

Ответ: 420

2) Разложим числа под корнем на множители, чтобы выделить полные квадраты.

$ \sqrt{32 \cdot 72} = \sqrt{(16 \cdot 2) \cdot (36 \cdot 2)} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 4} $

Используя свойство $ \sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $, получаем:

$ \sqrt{16} \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48 $

Ответ: 48

3) Вычислим произведение под корнем, чтобы упростить извлечение корня.

$ 125 \cdot 80 = 125 \cdot 8 \cdot 10 = 1000 \cdot 10 = 10000 $

Теперь извлечем корень из полученного числа:

$ \sqrt{10000} = \sqrt{100^2} = 100 $

Ответ: 100

4) Преобразуем десятичную дробь в произведение, чтобы избавиться от запятой под корнем.

$ \sqrt{3,6 \cdot 810} = \sqrt{(36 \cdot 0,1) \cdot (81 \cdot 10)} = \sqrt{36 \cdot 81 \cdot (0,1 \cdot 10)} $

Так как $ 0,1 \cdot 10 = 1 $, выражение упрощается до:

$ \sqrt{36 \cdot 81} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{81} = 6 \cdot 9 = 54 $

Ответ: 54

5) Для извлечения корня из большого числа $ \sqrt{275625} $ можно использовать его свойства. Поскольку число заканчивается на 25, его корень должен заканчиваться на 5. Это значит, что корень имеет вид $ 10a + 5 $. Квадрат такого числа равен $ (10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a+1) + 25 $.

В нашем случае $ 100a(a+1) + 25 = 275625 $. Отсюда $ a(a+1) = 2756 $.

Нам нужно найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 2756. Оценим значение $ a $: $ a \approx \sqrt{2756} $. Так как $ 50^2 = 2500 $, значение $ a $ близко к 50. Проверим $ a = 52 $:

$ 52 \cdot 53 = 2756 $.

Значит, $ a = 52 $. Искомый корень равен $ 10 \cdot 52 + 5 = 525 $.

Ответ: 525

6) Чтобы найти $ \sqrt{331776} $, оценим его величину. $ 500^2 = 250000 $ и $ 600^2 = 360000 $. Значит, корень находится между 500 и 600. Число 331776 оканчивается на 6, следовательно, его корень должен оканчиваться на 4 или 6.

Уточним оценку: $ 570^2 = 324900 $, а $ 580^2 = 336400 $. Корень находится между 570 и 580. Возможные варианты: 574 или 576.

Проверим 576:

$ 576^2 = (570+6)^2 = 570^2 + 2 \cdot 570 \cdot 6 + 6^2 = 324900 + 6840 + 36 = 331776 $.

Значит, $ \sqrt{331776} = 576 $.

Ответ: 576

7) Сгруппируем множители под корнем для удобства вычисления.

$ \sqrt{45 \cdot 80 \cdot 0,16} = \sqrt{(45 \cdot 80) \cdot 0,16} $

Сначала вычислим произведение в скобках:

$ 45 \cdot 80 = 3600 $

Теперь подставим результат обратно в выражение:

$ \sqrt{3600 \cdot 0,16} = \sqrt{3600} \cdot \sqrt{0,16} = 60 \cdot 0,4 = 24 $

Ответ: 24

8) Для вычисления $ \sqrt{98 \cdot 24 \cdot 27} $ разложим каждое число под корнем на простые множители, чтобы найти полные квадраты.

$ 98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2 $

$ 24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3 $

$ 27 = 3^3 $

Перемножим эти разложения под корнем:

$ \sqrt{(2 \cdot 7^2) \cdot (3 \cdot 2^3) \cdot (3^3)} = \sqrt{2^{1+3} \cdot 3^{1+3} \cdot 7^2} = \sqrt{2^4 \cdot 3^4 \cdot 7^2} $

Используем свойство степеней $ \sqrt{a^{2n}} = a^n $:

$ \sqrt{(2^2)^2 \cdot (3^2)^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 $

Вычислим полученное выражение:

$ 4 \cdot 9 \cdot 7 = 36 \cdot 7 = 252 $

Ответ: 252

3.4. Сравните значения выражений:

1) $\sqrt{17^2 - 8^2}$ и $17 - 8;$

2) $\sqrt{4^2 + 8^2}$ и $4 + 8;$

3) $\sqrt{117^2 - 108^2}$ и $117 - 108;$

4) $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2}$ и $21,8 - 18,2.$

1) Сравним значения выражений $\sqrt{17^2 - 8^2}$ и $17 - 8$.

Для вычисления первого выражения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{225} = 15$.

Вычислим значение второго выражения:

$17 - 8 = 9$.

Сравнивая полученные результаты, видим, что $15 > 9$.

Следовательно, $\sqrt{17^2 - 8^2} > 17 - 8$.

Ответ: $\sqrt{17^2 - 8^2} > 17 - 8$.

2) Сравним значения выражений $\sqrt{4^2 + 8^2}$ и $4 + 8$.

Оба выражения принимают положительные значения, поэтому для их сравнения мы можем сравнить их квадраты.

Квадрат первого выражения: $(\sqrt{4^2 + 8^2})^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$.

Квадрат второго выражения: $(4 + 8)^2 = 12^2 = 144$.

Так как $80 < 144$, то и исходные выражения соотносятся так же: $\sqrt{80} < \sqrt{144}$.

Следовательно, $\sqrt{4^2 + 8^2} < 4 + 8$.

Ответ: $\sqrt{4^2 + 8^2} < 4 + 8$.

3) Сравним значения выражений $\sqrt{117^2 - 108^2}$ и $117 - 108$.

Преобразуем первое выражение, используя формулу разности квадратов:

$\sqrt{117^2 - 108^2} = \sqrt{(117-108)(117+108)} = \sqrt{9 \cdot 225} = \sqrt{2025} = 45$.

Вычислим значение второго выражения:

$117 - 108 = 9$.

Сравниваем полученные значения: $45 > 9$.

Следовательно, $\sqrt{117^2 - 108^2} > 117 - 108$.

Ответ: $\sqrt{117^2 - 108^2} > 117 - 108$.

4) Сравним значения выражений $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2}$ и $21,8 - 18,2$.

Упростим первое выражение с помощью формулы разности квадратов:

$\sqrt{21,8^2 - 18,2^2} = \sqrt{(21,8 - 18,2)(21,8 + 18,2)} = \sqrt{3,6 \cdot 40} = \sqrt{144} = 12$.

Вычислим значение второго выражения:

$21,8 - 18,2 = 3,6$.

Сравниваем полученные результаты: $12 > 3,6$.

Следовательно, $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2} > 21,8 - 18,2$.

Ответ: $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2} > 21,8 - 18,2$.

3.5. Извлеките корень из выражения, если это возможно:

1) $\sqrt{122^2 - 22^2}$ ;

2) $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2}$ ;

3) $\sqrt{45,8^2 - 44,2^2}$ ;

4) $\sqrt{3,13^2 - 3,12^2}$ .

1) Для вычисления выражения $\sqrt{122^2 - 22^2}$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае $a = 122$ и $b = 22$.

Подставим значения в формулу: $122^2 - 22^2 = (122 - 22)(122 + 22) = 100 \cdot 144$.

Теперь извлечем корень из полученного произведения: $\sqrt{100 \cdot 144}$.

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$: $\sqrt{100 \cdot 144} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{144} = 10 \cdot 12 = 120$.

Ответ: 120.

2) Для вычисления выражения $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2}$ также применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a = 6,8$ и $b = 3,2$.

Подставим значения: $6,8^2 - 3,2^2 = (6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2) = 3,6 \cdot 10 = 36$.

Теперь извлечем корень: $\sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6.

3) Выражение $\sqrt{45,8^2 - 44,2^2}$ также упрощается с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В этом примере $a = 45,8$ и $b = 44,2$.

Выполним вычисления: $45,8^2 - 44,2^2 = (45,8 - 44,2)(45,8 + 44,2) = 1,6 \cdot 90$.

Умножим $1,6$ на $90$: $1,6 \cdot 90 = 16 \cdot 9 = 144$.

Извлечем корень из результата: $\sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12.

4) Для вычисления $\sqrt{3,13^2 - 3,12^2}$ используем ту же формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a = 3,13$ и $b = 3,12$.

Подставляем значения: $3,13^2 - 3,12^2 = (3,13 - 3,12)(3,13 + 3,12) = 0,01 \cdot 6,25$.

Теперь извлечем корень из произведения, используя свойство $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$: $\sqrt{0,01 \cdot 6,25} = \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{6,25} = 0,1 \cdot 2,5 = 0,25$.

Ответ: 0,25.

3.6. Представьте выражение в виде произведения корней:

1) $\sqrt{14};$

2) $\sqrt{7xa};$

3) $\sqrt{42ac};$

4) $\sqrt{15c};$

5) $\sqrt{46a};$

6) $\sqrt{1,5y}.$

Для решения данной задачи используется свойство корня из произведения: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Математически это записывается как $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a \geq 0$ и $b \geq 0$. Мы разложим каждое подкоренное выражение на множители и применим это свойство. Для выражений с переменными мы предполагаем, что они принимают неотрицательные значения.

1)

Чтобы представить выражение $\sqrt{14}$ в виде произведения корней, разложим подкоренное число 14 на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$.

Применяя свойство корня из произведения, получаем:

$\sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{7}$ (или $\sqrt{2}\sqrt{7}$)

Ответ: $\sqrt{2}\sqrt{7}$.

2)

Подкоренное выражение $7xa$ состоит из множителей $7$, $x$ и $a$. Предполагая, что $x \geq 0$ и $a \geq 0$, мы можем представить корень из их произведения как произведение корней.

$\sqrt{7xa} = \sqrt{7 \cdot x \cdot a} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{a}$ (или $\sqrt{7}\sqrt{x}\sqrt{a}$)

Ответ: $\sqrt{7}\sqrt{x}\sqrt{a}$.

3)

Разложим число 42 на простые множители: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$. Подкоренное выражение $42ac$ является произведением $2$, $3$, $7$, $a$ и $c$.

При условии, что $a \geq 0$ и $c \geq 0$, применяем свойство корня:

$\sqrt{42ac} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot a \cdot c} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{c}$ (или $\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{7}\sqrt{a}\sqrt{c}$)

Ответ: $\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{7}\sqrt{a}\sqrt{c}$.

4)

Разложим число 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Подкоренное выражение $15c$ является произведением $3$, $5$ и $c$.

При условии, что $c \geq 0$, получаем:

$\sqrt{15c} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot c} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{c}$ (или $\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{c}$)

Ответ: $\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{c}$.

5)

Разложим число 46 на простые множители: $46 = 2 \cdot 23$. Подкоренное выражение $46a$ является произведением $2$, $23$ и $a$.

При условии, что $a \geq 0$, получаем:

$\sqrt{46a} = \sqrt{2 \cdot 23 \cdot a} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{23} \cdot \sqrt{a}$ (или $\sqrt{2}\sqrt{23}\sqrt{a}$)

Ответ: $\sqrt{2}\sqrt{23}\sqrt{a}$.

6)

Подкоренное выражение содержит десятичную дробь $1,5$. Представим ее в виде произведения множителей. Например, $1,5 = 3 \cdot 0,5$. Также можно представить $1,5$ как обыкновенную дробь $\frac{3}{2}$.

Используем разложение $1,5y = 1,5 \cdot y$. При условии, что $y \geq 0$, получаем:

$\sqrt{1,5y} = \sqrt{1,5 \cdot y} = \sqrt{1,5} \cdot \sqrt{y}$ (или $\sqrt{1,5}\sqrt{y}$)

Можно также разложить множитель $1,5$, представив его как $3 \cdot 0,5$, что дает $\sqrt{1,5y} = \sqrt{3 \cdot 0,5 \cdot y} = \sqrt{3}\sqrt{0,5}\sqrt{y}$. Оба варианта являются произведением корней.

Ответ: $\sqrt{1,5}\sqrt{y}$ (или $\sqrt{3}\sqrt{0,5}\sqrt{y}$).