Страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Всегда ли верно равенство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$?

2. В каких случаях в равенстве $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ число а может быть отрицательным?

3. При каких значениях буквы а верно равенство $\sqrt{a^2} = -a$?

1. Равенство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ не всегда является верным. По определению арифметического квадратного корня, результат извлечения корня должен быть неотрицательным. Однако правая часть равенства, $a^n$, может быть отрицательной.
По свойству корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Применим это свойство к левой части равенства:$\sqrt{a^{2n}} = \sqrt{(a^n)^2} = |a^n|$.
Таким образом, исходное равенство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ эквивалентно равенству $|a^n| = a^n$.Это равенство, по определению модуля, выполняется только в том случае, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $a^n \ge 0$.
Если же $a^n < 0$ (что возможно, например, при отрицательном $a$ и нечетном $n$), то равенство неверно. Например, пусть $a = -2$ и $n = 1$:$\sqrt{(-2)^{2 \cdot 1}} = \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$.При этом $a^n = (-2)^1 = -2$.Поскольку $2 \neq -2$, равенство в данном случае не выполняется.
Ответ: Нет, не всегда. Равенство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ верно только при условии $a^n \ge 0$.

2. Как было установлено в предыдущем пункте, равенство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ верно тогда и только тогда, когда $a^n \ge 0$.Нас интересует случай, когда число $a$ отрицательное, то есть $a < 0$.Рассмотрим, при каких натуральных значениях $n$ выражение $a^n$ будет неотрицательным, если $a < 0$.
- Если $n$ — нечетное натуральное число ($1, 3, 5, \dots$), то при $a < 0$ значение $a^n$ будет отрицательным. Например, $(-3)^3 = -27 < 0$.- Если $n$ — четное натуральное число ($2, 4, 6, \dots$), то при $a < 0$ значение $a^n$ будет положительным. Например, $(-3)^2 = 9 > 0$.
Следовательно, для отрицательного $a$ условие $a^n \ge 0$ выполняется только тогда, когда $n$ является четным числом.
Ответ: В равенстве $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ число $a$ может быть отрицательным в том случае, если $n$ является четным натуральным числом.

3. Чтобы найти значения $a$, при которых верно равенство $\sqrt{a^2} = -a$, воспользуемся основным свойством квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$.Применив это свойство, мы можем переписать исходное равенство в виде:$|a| = -a$.
Теперь проанализируем это уравнение, исходя из определения модуля:- Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Уравнение принимает вид $a = -a$. Это равенство верно только если $2a=0$, то есть при $a=0$.- Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Уравнение принимает вид $-a = -a$. Это тождество, верное для любого отрицательного значения $a$.
Объединяя оба случая, мы приходим к выводу, что равенство $|a| = -a$ верно для всех $a$, которые меньше или равны нулю.
Ответ: Равенство $\sqrt{a^2} = -a$ верно при любых неположительных значениях буквы $a$, то есть при $a \le 0$.