Страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.9. Вычислите:

1) $3\sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7});$

2) $(0,1\sqrt{30})^2 + (-3\sqrt{5})^2;$

3) $-0,2(\sqrt{10})^2 + 4,3;$

4) $\sqrt{3,61} + \sqrt{0,0121}.$

1) Для вычисления произведения $3\sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7})$ воспользуемся свойством квадратного корня $(\sqrt{a})^2 = a$.
$3\sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7}) = -3 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = -3 \cdot (\sqrt{7})^2 = -3 \cdot 7 = -21$.
Ответ: -21.

2) Чтобы вычислить значение выражения $(0,1\sqrt{30})^2 + (-3\sqrt{5})^2$, возведем в квадрат каждое слагаемое по отдельности, используя свойство степени $(ab)^2 = a^2b^2$.
Первое слагаемое: $(0,1\sqrt{30})^2 = (0,1)^2 \cdot (\sqrt{30})^2 = 0,01 \cdot 30 = 0,3$.
Второе слагаемое: $(-3\sqrt{5})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.
Теперь сложим полученные результаты: $0,3 + 45 = 45,3$.
Ответ: 45,3.

3) В выражении $-0,2(\sqrt{10})^2 + 4,3$ сначала выполним возведение в степень, а затем умножение и сложение.
$(\sqrt{10})^2 = 10$.
Подставим это значение в выражение: $-0,2 \cdot 10 + 4,3 = -2 + 4,3 = 2,3$.
Ответ: 2,3.

4) Для вычисления суммы $\sqrt{3,61} + \sqrt{0,0121}$ найдем значение каждого квадратного корня.
Найдем корень из 3,61. Так как $19^2 = 361$, то $1,9^2 = 3,61$. Следовательно, $\sqrt{3,61} = 1,9$.
Найдем корень из 0,0121. Так как $11^2 = 121$, а в подкоренном выражении 4 знака после запятой, то в результате будет 2 знака. Следовательно, $\sqrt{0,0121} = 0,11$.
Сложим полученные значения: $1,9 + 0,11 = 2,01$.
Ответ: 2,01.

2.10. Используя микрокалькулятор, найдите корни уравнения:

1) $x^2 = 42$;

2) $14 + y^2 = 25$;

3) $a^2 = 5,19$;

4) $x^2 = 0,0204$.

Ответ округлите до сотых.

1) Для решения уравнения $x^2 = 42$ необходимо извлечь квадратный корень из 42. Уравнения вида $x^2 = a$, где $a > 0$, всегда имеют два противоположных корня.
$x = \pm\sqrt{42}$
С помощью калькулятора находим значение корня: $\sqrt{42} \approx 6,480740...$
Округляем результат до сотых. Так как третья цифра после запятой 0, то вторую цифру не изменяем.
$x_1 \approx 6,48$ и $x_2 \approx -6,48$.
Ответ: $x_1 \approx 6,48, x_2 \approx -6,48$.

2) Сначала преобразуем уравнение $14 + y^2 = 25$, чтобы выразить $y^2$.
$y^2 = 25 - 14$
$y^2 = 11$
Теперь найдем корни, извлекая квадратный корень из 11.
$y = \pm\sqrt{11}$
С помощью калькулятора находим значение корня: $\sqrt{11} \approx 3,316624...$
Округляем результат до сотых. Так как третья цифра после запятой 6, то вторую цифру увеличиваем на единицу.
$y_1 \approx 3,32$ и $y_2 \approx -3,32$.
Ответ: $y_1 \approx 3,32, y_2 \approx -3,32$.

3) Для решения уравнения $a^2 = 5,19$ необходимо извлечь квадратный корень из 5,19.
$a = \pm\sqrt{5,19}$
С помощью калькулятора находим значение корня: $\sqrt{5,19} \approx 2,278157...$
Округляем результат до сотых. Так как третья цифра после запятой 8, то вторую цифру увеличиваем на единицу.
$a_1 \approx 2,28$ и $a_2 \approx -2,28$.
Ответ: $a_1 \approx 2,28, a_2 \approx -2,28$.

4) Для решения уравнения $x^2 = 0,0204$ необходимо извлечь квадратный корень из 0,0204.
$x = \pm\sqrt{0,0204}$
С помощью калькулятора находим значение корня: $\sqrt{0,0204} \approx 0,142828...$
Округляем результат до сотых. Так как третья цифра после запятой 2, то вторую цифру не изменяем.
$x_1 \approx 0,14$ и $x_2 \approx -0,14$.
Ответ: $x_1 \approx 0,14, x_2 \approx -0,14$.

2.11. Используя определение квадратного корня, решите уравнение:

1)

$20 + x^2 = 56$;

2)

$2y^2 = 50$;

3)

$a^2 - 1 = 4,29$;

4)

$b^2 - 3 = 1,84$.

1) $20 + x^2 = 56$

Чтобы решить это уравнение, сначала изолируем член $x^2$. Для этого перенесем 20 из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$x^2 = 56 - 20$

$x^2 = 36$

Теперь, используя определение квадратного корня, найдем значения $x$. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a > 0$, имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$. В нашем случае $a=36$.

$x = \pm\sqrt{36}$

Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 6$

$x_2 = -6$

Ответ: $6; -6$.

2) $2y^2 = 50$

Сначала выделим $y^2$, разделив обе части уравнения на коэффициент 2:

$y^2 = \frac{50}{2}$

$y^2 = 25$

По определению квадратного корня, если $y^2 = a$ и $a > 0$, то уравнение имеет два решения: $y = \pm\sqrt{a}$. В данном случае $a=25$.

$y = \pm\sqrt{25}$

Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = 5$

$y_2 = -5$

Ответ: $5; -5$.

3) $a^2 - 1 = 4,29$

Изолируем $a^2$, перенеся -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$a^2 = 4,29 + 1$

$a^2 = 5,29$

Применим определение квадратного корня. Уравнение $a^2 = b$, где $b > 0$, имеет два корня $a = \pm\sqrt{b}$. Здесь $b = 5,29$.

$a = \pm\sqrt{5,29}$

Так как $2,3 \times 2,3 = 5,29$, то $\sqrt{5,29} = 2,3$.

Следовательно, корни уравнения:

$a_1 = 2,3$

$a_2 = -2,3$

Ответ: $2,3; -2,3$.

4) $b^2 - 3 = 1,84$

Перенесем -3 в правую часть уравнения, чтобы изолировать $b^2$:

$b^2 = 1,84 + 3$

$b^2 = 4,84$

Используя определение квадратного корня для уравнения $b^2 = c$ при $c > 0$, получаем $b = \pm\sqrt{c}$. В нашем примере $c = 4,84$.

$b = \pm\sqrt{4,84}$

Так как $2,2 \times 2,2 = 4,84$, то $\sqrt{4,84} = 2,2$.

Следовательно, корни уравнения:

$b_1 = 2,2$

$b_2 = -2,2$

Ответ: $2,2; -2,2$.

2.12. Имеет ли смысл выражение:

1) $-\sqrt{64}$;

2) $(-\sqrt{144})^2$;

3) $(-\sqrt{-144})^2$;

4) $(\sqrt{144})^2 - \sqrt{-25}$;

5) $\sqrt{\frac{(-2)^4}{25}}$?

1) $\sqrt{-64}$
Арифметический квадратный корень (корень второй степени) в множестве действительных чисел определен только для неотрицательных чисел. Поскольку подкоренное выражение $-64$ является отрицательным ($-64 < 0$), данное выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

2) $(-\sqrt{144})^2$
Сначала необходимо определить, имеет ли смысл выражение в скобках. Подкоренное выражение $144$ является положительным, значит, $\sqrt{144}$ имеет смысл и равен $12$. Тогда выражение в скобках равно $-\sqrt{144} = -12$. Далее, возведение в квадрат числа $-12$ является определенной операцией: $(-12)^2 = 144$. Следовательно, все выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

3) $(-\sqrt{-144})^2$
Рассмотрим выражение, стоящее в скобках в основании степени: $-\sqrt{-144}$. Оно содержит корень $\sqrt{-144}$. Так как подкоренное выражение $-144$ отрицательно, корень из него в множестве действительных чисел не определен. Следовательно, все выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

4) $(\sqrt{144})^2 - \sqrt{-25}$
Это выражение представляет собой разность двух членов: $(\sqrt{144})^2$ и $\sqrt{-25}$. Первый член $(\sqrt{144})^2$ имеет смысл, так как $\sqrt{144}=12$ и $12^2=144$. Второй член $\sqrt{-25}$ не имеет смысла, потому что подкоренное выражение $-25$ отрицательно. Так как одна из частей выражения не определена, все выражение целиком не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

5) $\sqrt{\frac{(-2)^4}{25}}$
Сначала вычислим подкоренное выражение $\frac{(-2)^4}{25}$. Числитель равен $(-2)^4 = 16$. Таким образом, подкоренное выражение равно $\frac{16}{25}$. Это число положительное, поэтому извлечение квадратного корня является определенной операцией: $\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$. Следовательно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

2.13. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{3x}$;

2) $\sqrt{-3x}$;

3) $\sqrt{-x}$;

4) $\sqrt{x-5}$;

5) $\sqrt{x+9}$;

6) $\sqrt{7-x}$?

1) Выражение $\sqrt{3x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Составим и решим неравенство:
$3x \geq 0$
Разделив обе части неравенства на 3, получаем:
$x \geq 0$
Ответ: при $x \geq 0$.

2) Выражение $\sqrt{-3x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $-3x$ неотрицательно. Составим неравенство:
$-3x \geq 0$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-3), знак неравенства меняется на противоположный:
$x \leq 0$
Ответ: при $x \leq 0$.

3) Выражение $\sqrt{-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $-x$ неотрицательно. Составим неравенство:
$-x \geq 0$
Умножив обе части на -1, изменим знак неравенства на противоположный:
$x \leq 0$
Ответ: при $x \leq 0$.

4) Выражение $\sqrt{x - 5}$ имеет смысл, если подкоренное выражение $x - 5$ неотрицательно. Решим неравенство:
$x - 5 \geq 0$
Перенесем -5 в правую часть неравенства, сменив знак:
$x \geq 5$
Ответ: при $x \geq 5$.

5) Выражение $\sqrt{x + 9}$ имеет смысл, если подкоренное выражение $x + 9$ неотрицательно. Решим неравенство:
$x + 9 \geq 0$
Перенесем 9 в правую часть неравенства, сменив знак:
$x \geq -9$
Ответ: при $x \geq -9$.

6) Выражение $\sqrt{7 - x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $7 - x$ неотрицательно. Решим неравенство:
$7 - x \geq 0$
Перенесем $-x$ в правую часть, сменив знак: $7 \geq x$. Это неравенство эквивалентно следующему:
$x \leq 7$
Ответ: при $x \leq 7$.

2.14. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{3 - x}$;

2) $\sqrt{3 - 3x}$;

3) $\sqrt{-4x}$;

4) $\sqrt{x - 3,5}$;

5) $\sqrt{3x + 12}$;

6) $\sqrt{7 - 0,2x}$?

1) Выражение $\sqrt{3-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $3-x$ является неотрицательным числом, то есть больше или равно нулю. Это приводит к неравенству:
$3 - x \geq 0$
Перенеся $x$ в правую часть, получаем:
$3 \geq x$
Что эквивалентно $x \leq 3$.
Ответ: $x \leq 3$.

2) Для того чтобы выражение $\sqrt{3-3x}$ имело смысл, его подкоренное выражение $3-3x$ должно быть больше или равно нулю. Составим и решим неравенство:
$3 - 3x \geq 0$
Перенесем $3x$ в правую часть:
$3 \geq 3x$
Разделив обе части на 3, получаем:
$1 \geq x$
Или $x \leq 1$.
Ответ: $x \leq 1$.

3) Выражение $\sqrt{-4x}$ имеет смысл, если подкоренное выражение $-4x$ неотрицательно. Решим неравенство:
$-4x \geq 0$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-4), знак неравенства меняется на противоположный:
$x \leq \frac{0}{-4}$
$x \leq 0$
Ответ: $x \leq 0$.

4) Выражение $\sqrt{x-3,5}$ имеет смысл при условии, что подкоренное выражение $x-3,5$ неотрицательно. Запишем и решим это условие в виде неравенства:
$x - 3,5 \geq 0$
Перенеся $-3,5$ в правую часть, получаем:
$x \geq 3,5$
Ответ: $x \geq 3,5$.

5) Для того чтобы выражение $\sqrt{3x+12}$ имело смысл, подкоренное выражение $3x+12$ должно быть неотрицательным. Решим неравенство:
$3x + 12 \geq 0$
Перенесем 12 в правую часть со сменой знака:
$3x \geq -12$
Разделив обе части на 3, получаем:
$x \geq \frac{-12}{3}$
$x \geq -4$
Ответ: $x \geq -4$.

6) Выражение $\sqrt{7-0,2x}$ имеет смысл, если его подкоренное выражение $7-0,2x$ не меньше нуля. Составим и решим неравенство:
$7 - 0,2x \geq 0$
Перенесем $0,2x$ в правую часть:
$7 \geq 0,2x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на $0,2$:
$\frac{7}{0,2} \geq x$
$35 \geq x$
Или $x \leq 35$.
Ответ: $x \leq 35$.

2.15. При каком значении переменной x верно равенство:

1) $\sqrt{x} = 11;$

2) $\sqrt{x} = 1,1;$

3) $\sqrt{-x} = 19;$

4) $2\sqrt{x} = 0,4;$

5) $0,1\sqrt{x} = 1;$

6) $\sqrt{2x} = -22?$

1) Чтобы найти значение переменной $x$ в равенстве $\sqrt{x} = 11$, необходимо возвести обе части уравнения в квадрат. Это действие является обратным к извлечению квадратного корня.
$(\sqrt{x})^2 = 11^2$
$x = 121$
Проверим, подставив найденное значение в исходное равенство: $\sqrt{121} = 11$. Равенство верно.
Ответ: 121.

2) Дано равенство $\sqrt{x} = 1,1$. Для нахождения $x$ возведем обе части в квадрат.
$(\sqrt{x})^2 = (1,1)^2$
$x = 1,21$
Проверка: $\sqrt{1,21} = 1,1$. Равенство верно.
Ответ: 1,21.

3) Дано равенство $\sqrt{-x} = 19$. Согласно определению арифметического квадратного корня, выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$. Возведем обе части в квадрат.
$(\sqrt{-x})^2 = 19^2$
$-x = 361$
Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$.
$x = -361$
Найденное значение $x = -361$ удовлетворяет условию $x \le 0$.
Проверка: $\sqrt{-(-361)} = \sqrt{361} = 19$. Равенство верно.
Ответ: -361.

4) Дано равенство $2\sqrt{x} = 0,4$. Сначала разделим обе части равенства на 2, чтобы выразить $\sqrt{x}$.
$\sqrt{x} = \frac{0,4}{2}$
$\sqrt{x} = 0,2$
Теперь возведем обе части в квадрат.
$(\sqrt{x})^2 = (0,2)^2$
$x = 0,04$
Проверка: $2\sqrt{0,04} = 2 \cdot 0,2 = 0,4$. Равенство верно.
Ответ: 0,04.

5) Дано равенство $0,1\sqrt{x} = 1$. Разделим обе части на 0,1.
$\sqrt{x} = \frac{1}{0,1}$
$\sqrt{x} = 10$
Возведем обе части в квадрат.
$(\sqrt{x})^2 = 10^2$
$x = 100$
Проверка: $0,1\sqrt{100} = 0,1 \cdot 10 = 1$. Равенство верно.
Ответ: 100.

6) Дано равенство $\sqrt{2x} = -22$. Арифметический квадратный корень (обозначается символом $\sqrt{}$) по определению является неотрицательной величиной. Это означает, что для любого значения $x$, при котором выражение $\sqrt{2x}$ имеет смысл (т.е. $2x \ge 0$), результат должен быть больше или равен нулю: $\sqrt{2x} \ge 0$.
В правой части равенства стоит отрицательное число -22. Поскольку неотрицательная величина не может быть равна отрицательной, данное равенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

2.16. Найдите значение переменной a, при котором верно равенство:

1) $4\sqrt{a} = 8;$

2) $\sqrt{\frac{4}{25}} = -a;$

3) $\sqrt{3 - a} = 5;$

4) $\sqrt{a+4} = 4;$

5) $\frac{3}{5} \cdot (-\sqrt{a})^2 = 15.$

1) Для решения уравнения $4\sqrt{a} = 8$ необходимо найти значение переменной $a$.
Сначала изолируем радикал (квадратный корень), разделив обе части уравнения на 4:
$\frac{4\sqrt{a}}{4} = \frac{8}{4}$
$\sqrt{a} = 2$
Теперь, чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{a})^2 = 2^2$
$a = 4$
Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение: $4\sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8$. Равенство выполняется. Также, подкоренное выражение $a=4$ является неотрицательным, что соответствует области определения квадратного корня.
Ответ: $a=4$

2) Рассмотрим равенство $\sqrt{\frac{4}{25}} = -a$.
Сначала вычислим значение квадратного корня в левой части уравнения:
$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$
Теперь уравнение принимает вид:
$\frac{2}{5} = -a$
Чтобы найти $a$, умножим обе части на -1:
$a = -\frac{2}{5}$
Проверим результат, подставив его в правую часть исходного равенства: $-a = -(-\frac{2}{5}) = \frac{2}{5}$. Левая часть равна $\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$. Равенство верно.
Ответ: $a = -\frac{2}{5}$

3) Решим уравнение $\sqrt{3 - a} = 5$.
Чтобы найти $a$, сначала избавимся от знака корня, возведя обе части уравнения в квадрат. При этом нужно помнить, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($3 - a \ge 0$).
$(\sqrt{3 - a})^2 = 5^2$
$3 - a = 25$
Перенесем 3 в правую часть уравнения:
$-a = 25 - 3$
$-a = 22$
$a = -22$
Проверим условие $3 - a \ge 0$. Подставим $a = -22$: $3 - (-22) = 3 + 22 = 25$. Так как $25 \ge 0$, значение допустимо. Проверка самого решения: $\sqrt{3 - (-22)} = \sqrt{25} = 5$. Равенство верно.
Ответ: $a=-22$

4) Решим уравнение $\sqrt{a + 4} = 4$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы устранить радикал. Область допустимых значений определяется условием $a + 4 \ge 0$.
$(\sqrt{a + 4})^2 = 4^2$
$a + 4 = 16$
Вычтем 4 из обеих частей уравнения, чтобы найти $a$:
$a = 16 - 4$
$a = 12$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение области допустимых значений: $a + 4 = 12 + 4 = 16$. Так как $16 \ge 0$, значение допустимо. Проверка самого решения: $\sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$. Равенство верно.
Ответ: $a=12$

5) Решим уравнение $\frac{3}{5} \cdot (-\sqrt{a})^2 = 15$.
Область определения этого уравнения — $a \ge 0$, так как переменная находится под знаком квадратного корня.
Упростим выражение $(-\sqrt{a})^2$. Возведение в квадрат убирает и минус, и корень:
$(-\sqrt{a})^2 = a$
Уравнение принимает вид:
$\frac{3}{5}a = 15$
Чтобы найти $a$, умножим обе части уравнения на обратную дробь $\frac{5}{3}$:
$a = 15 \cdot \frac{5}{3}$
$a = \frac{15 \cdot 5}{3} = 5 \cdot 5 = 25$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a=25$ условию $a \ge 0$. Условие выполняется, так как $25 \ge 0$. Подставим в исходное уравнение: $\frac{3}{5} \cdot (-\sqrt{25})^2 = \frac{3}{5} \cdot (-5)^2 = \frac{3}{5} \cdot 25 = 3 \cdot 5 = 15$. Равенство верно.
Ответ: $a=25$

2.17. Найдите значение переменной a, при котором верно равенство:

1) $(a - 3)^2 = 16;$

2) $(a + 5)^2 = 36;$

3) $(a - 1)^2 = 0.16;$

4) $(2a - 3)^2 = 0.81.$

1) Исходное уравнение: $(a - 3)^2 = 16$.
Чтобы найти значение a, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку квадрат числа может быть как положительным, так и отрицательным, мы получаем два возможных варианта для выражения $(a - 3)$:
1. $a - 3 = \sqrt{16} \implies a - 3 = 4$
$a = 4 + 3$
$a_1 = 7$
2. $a - 3 = -\sqrt{16} \implies a - 3 = -4$
$a = -4 + 3$
$a_2 = -1$
Ответ: $a = 7$ или $a = -1$.

2) Исходное уравнение: $(a + 5)^2 = 36$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, что приводит к двум случаям:
1. $a + 5 = \sqrt{36} \implies a + 5 = 6$
$a = 6 - 5$
$a_1 = 1$
2. $a + 5 = -\sqrt{36} \implies a + 5 = -6$
$a = -6 - 5$
$a_2 = -11$
Ответ: $a = 1$ или $a = -11$.

3) Исходное уравнение: $(a - 1)^2 = 0.16$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей. Учтем, что $\sqrt{0.16} = 0.4$.
1. $a - 1 = 0.4$
$a = 0.4 + 1$
$a_1 = 1.4$
2. $a - 1 = -0.4$
$a = -0.4 + 1$
$a_2 = 0.6$
Ответ: $a = 1.4$ или $a = 0.6$.

4) Исходное уравнение: $(2a - 3)^2 = 0.81$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей. Учтем, что $\sqrt{0.81} = 0.9$.
1. $2a - 3 = 0.9$
$2a = 0.9 + 3$
$2a = 3.9$
$a = 3.9 / 2$
$a_1 = 1.95$
2. $2a - 3 = -0.9$
$2a = -0.9 + 3$
$2a = 2.1$
$a = 2.1 / 2$
$a_2 = 1.05$
Ответ: $a = 1.95$ или $a = 1.05$.