Номер 2.16, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.16. Найдите значение переменной a, при котором верно равенство:

1) $4\sqrt{a} = 8;$

2) $\sqrt{\frac{4}{25}} = -a;$

3) $\sqrt{3 - a} = 5;$

4) $\sqrt{a+4} = 4;$

5) $\frac{3}{5} \cdot (-\sqrt{a})^2 = 15.$

1) Для решения уравнения $4\sqrt{a} = 8$ необходимо найти значение переменной $a$.
Сначала изолируем радикал (квадратный корень), разделив обе части уравнения на 4:
$\frac{4\sqrt{a}}{4} = \frac{8}{4}$
$\sqrt{a} = 2$
Теперь, чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{a})^2 = 2^2$
$a = 4$
Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение: $4\sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8$. Равенство выполняется. Также, подкоренное выражение $a=4$ является неотрицательным, что соответствует области определения квадратного корня.
Ответ: $a=4$

2) Рассмотрим равенство $\sqrt{\frac{4}{25}} = -a$.
Сначала вычислим значение квадратного корня в левой части уравнения:
$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$
Теперь уравнение принимает вид:
$\frac{2}{5} = -a$
Чтобы найти $a$, умножим обе части на -1:
$a = -\frac{2}{5}$
Проверим результат, подставив его в правую часть исходного равенства: $-a = -(-\frac{2}{5}) = \frac{2}{5}$. Левая часть равна $\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$. Равенство верно.
Ответ: $a = -\frac{2}{5}$

3) Решим уравнение $\sqrt{3 - a} = 5$.
Чтобы найти $a$, сначала избавимся от знака корня, возведя обе части уравнения в квадрат. При этом нужно помнить, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($3 - a \ge 0$).
$(\sqrt{3 - a})^2 = 5^2$
$3 - a = 25$
Перенесем 3 в правую часть уравнения:
$-a = 25 - 3$
$-a = 22$
$a = -22$
Проверим условие $3 - a \ge 0$. Подставим $a = -22$: $3 - (-22) = 3 + 22 = 25$. Так как $25 \ge 0$, значение допустимо. Проверка самого решения: $\sqrt{3 - (-22)} = \sqrt{25} = 5$. Равенство верно.
Ответ: $a=-22$

4) Решим уравнение $\sqrt{a + 4} = 4$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы устранить радикал. Область допустимых значений определяется условием $a + 4 \ge 0$.
$(\sqrt{a + 4})^2 = 4^2$
$a + 4 = 16$
Вычтем 4 из обеих частей уравнения, чтобы найти $a$:
$a = 16 - 4$
$a = 12$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение области допустимых значений: $a + 4 = 12 + 4 = 16$. Так как $16 \ge 0$, значение допустимо. Проверка самого решения: $\sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$. Равенство верно.
Ответ: $a=12$

5) Решим уравнение $\frac{3}{5} \cdot (-\sqrt{a})^2 = 15$.
Область определения этого уравнения — $a \ge 0$, так как переменная находится под знаком квадратного корня.
Упростим выражение $(-\sqrt{a})^2$. Возведение в квадрат убирает и минус, и корень:
$(-\sqrt{a})^2 = a$
Уравнение принимает вид:
$\frac{3}{5}a = 15$
Чтобы найти $a$, умножим обе части уравнения на обратную дробь $\frac{5}{3}$:
$a = 15 \cdot \frac{5}{3}$
$a = \frac{15 \cdot 5}{3} = 5 \cdot 5 = 25$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a=25$ условию $a \ge 0$. Условие выполняется, так как $25 \ge 0$. Подставим в исходное уравнение: $\frac{3}{5} \cdot (-\sqrt{25})^2 = \frac{3}{5} \cdot (-5)^2 = \frac{3}{5} \cdot 25 = 3 \cdot 5 = 15$. Равенство верно.
Ответ: $a=25$