Номер 2.23, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.23. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{25^2 - 24^2}$ ;

2) $\sqrt{25^2 \cdot 16}$ ;

3) $\sqrt{\frac{225}{9}}$ ;

4) $\left(\sqrt{13^2}\right)^2$ .

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{25^2 - 24^2}$, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Применим эту формулу к выражению под корнем:
$25^2 - 24^2 = (25 - 24)(25 + 24) = 1 \cdot 49 = 49$.
Теперь извлечем квадратный корень из полученного числа:
$\sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: 7

2) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{25^2 \cdot 16}$, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.
$\sqrt{25^2 \cdot 16} = \sqrt{25^2} \cdot \sqrt{16}$.
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = a$ для $a \ge 0$. Таким образом, $\sqrt{25^2} = 25$.
Также, $\sqrt{16} = 4$.
Найдем произведение полученных значений:
$25 \cdot 4 = 100$.
Ответ: 100

3) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\frac{225}{9}}$, можно сначала выполнить деление под знаком корня.
$225 \div 9 = 25$.
Теперь извлечем корень из результата:
$\sqrt{25} = 5$.
Другой способ — использовать свойство корня из частного $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{225}{9}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{9}} = \frac{15}{3} = 5$.
Ответ: 5

4) Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{13^2})^2$, воспользуемся определением квадратного корня. Для любого неотрицательного числа $x$ справедливо равенство $(\sqrt{x})^2 = x$.
В нашем случае $x = 13^2$, что является неотрицательным числом.
Таким образом, $(\sqrt{13^2})^2 = 13^2$.
Вычислим $13^2$:
$13^2 = 13 \cdot 13 = 169$.
Ответ: 169