Номер 3.6, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.6. Представьте выражение в виде произведения корней:

1) $\sqrt{14};$

2) $\sqrt{7xa};$

3) $\sqrt{42ac};$

4) $\sqrt{15c};$

5) $\sqrt{46a};$

6) $\sqrt{1,5y}.$

Для решения данной задачи используется свойство корня из произведения: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Математически это записывается как $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a \geq 0$ и $b \geq 0$. Мы разложим каждое подкоренное выражение на множители и применим это свойство. Для выражений с переменными мы предполагаем, что они принимают неотрицательные значения.

1)

Чтобы представить выражение $\sqrt{14}$ в виде произведения корней, разложим подкоренное число 14 на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$.

Применяя свойство корня из произведения, получаем:

$\sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{7}$ (или $\sqrt{2}\sqrt{7}$)

Ответ: $\sqrt{2}\sqrt{7}$.

2)

Подкоренное выражение $7xa$ состоит из множителей $7$, $x$ и $a$. Предполагая, что $x \geq 0$ и $a \geq 0$, мы можем представить корень из их произведения как произведение корней.

$\sqrt{7xa} = \sqrt{7 \cdot x \cdot a} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{a}$ (или $\sqrt{7}\sqrt{x}\sqrt{a}$)

Ответ: $\sqrt{7}\sqrt{x}\sqrt{a}$.

3)

Разложим число 42 на простые множители: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$. Подкоренное выражение $42ac$ является произведением $2$, $3$, $7$, $a$ и $c$.

При условии, что $a \geq 0$ и $c \geq 0$, применяем свойство корня:

$\sqrt{42ac} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot a \cdot c} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{c}$ (или $\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{7}\sqrt{a}\sqrt{c}$)

Ответ: $\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{7}\sqrt{a}\sqrt{c}$.

4)

Разложим число 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Подкоренное выражение $15c$ является произведением $3$, $5$ и $c$.

При условии, что $c \geq 0$, получаем:

$\sqrt{15c} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot c} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{c}$ (или $\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{c}$)

Ответ: $\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{c}$.

5)

Разложим число 46 на простые множители: $46 = 2 \cdot 23$. Подкоренное выражение $46a$ является произведением $2$, $23$ и $a$.

При условии, что $a \geq 0$, получаем:

$\sqrt{46a} = \sqrt{2 \cdot 23 \cdot a} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{23} \cdot \sqrt{a}$ (или $\sqrt{2}\sqrt{23}\sqrt{a}$)

Ответ: $\sqrt{2}\sqrt{23}\sqrt{a}$.

6)

Подкоренное выражение содержит десятичную дробь $1,5$. Представим ее в виде произведения множителей. Например, $1,5 = 3 \cdot 0,5$. Также можно представить $1,5$ как обыкновенную дробь $\frac{3}{2}$.

Используем разложение $1,5y = 1,5 \cdot y$. При условии, что $y \geq 0$, получаем:

$\sqrt{1,5y} = \sqrt{1,5 \cdot y} = \sqrt{1,5} \cdot \sqrt{y}$ (или $\sqrt{1,5}\sqrt{y}$)

Можно также разложить множитель $1,5$, представив его как $3 \cdot 0,5$, что дает $\sqrt{1,5y} = \sqrt{3 \cdot 0,5 \cdot y} = \sqrt{3}\sqrt{0,5}\sqrt{y}$. Оба варианта являются произведением корней.

Ответ: $\sqrt{1,5}\sqrt{y}$ (или $\sqrt{3}\sqrt{0,5}\sqrt{y}$).