Номер 3.9, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.9. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{63} \cdot \sqrt{28}$;

2) $\sqrt{6} : \sqrt{24}$;

3) $\sqrt{0.5} \cdot \sqrt{0.32}$;

4) $\sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{63}{125}};

5) $\sqrt{3\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{0.2}$;

6) $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{135}}$.

1) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{63} \cdot \sqrt{28} $ воспользуемся свойством произведения квадратных корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.

$ \sqrt{63} \cdot \sqrt{28} = \sqrt{63 \cdot 28} $

Чтобы упростить извлечение корня, разложим подкоренные числа на множители:

$ 63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7 $

$ 28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 $

Тогда произведение под корнем равно:

$ 63 \cdot 28 = (9 \cdot 7) \cdot (4 \cdot 7) = 9 \cdot 4 \cdot 7^2 = 36 \cdot 49 $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = 6 \cdot 7 = 42 $

Ответ: 42

2) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{6} : \sqrt{24} $ воспользуемся свойством частного квадратных корней $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $.

$ \sqrt{6} : \sqrt{24} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{24}} = \sqrt{\frac{6}{24}} $

Сократим дробь под корнем:

$ \frac{6}{24} = \frac{1}{4} $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

3) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{0,5} \cdot \sqrt{0,32} $ воспользуемся свойством $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.

$ \sqrt{0,5} \cdot \sqrt{0,32} = \sqrt{0,5 \cdot 0,32} $

Вычислим произведение под корнем:

$ 0,5 \cdot 0,32 = 0,16 $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{0,16} = 0,4 $

Ответ: 0,4

4) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{63}{125}} $ воспользуемся свойством $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.

$ \sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{63}{125}} = \sqrt{\frac{5}{7} \cdot \frac{63}{125}} $

Упростим произведение дробей под корнем, сократив общие множители:

$ \frac{5}{7} \cdot \frac{63}{125} = \frac{5 \cdot (7 \cdot 9)}{7 \cdot (5 \cdot 25)} = \frac{9}{25} $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} $

Ответ: $ \frac{3}{5} $

5) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{3\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{0,2} $ сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби.

$ 3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5} $

$ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $

Теперь выражение имеет вид: $ \sqrt{\frac{16}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} $

Воспользуемся свойством $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $:

$ \sqrt{\frac{16}{5} \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{16}{25}} $

Извлечем корень:

$ \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} $

Ответ: $ \frac{4}{5} $

6) Для вычисления значения выражения $ \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{135}} $ воспользуемся свойством $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $.

$ \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{135}} = \sqrt{\frac{15}{135}} $

Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 15:

$ \frac{15}{135} = \frac{15}{15 \cdot 9} = \frac{1}{9} $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $