Номер 3.3, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.3. Вычислите:

1) $\sqrt{360 \cdot 490}$;

2) $\sqrt{32 \cdot 72}$;

3) $\sqrt{125 \cdot 80}$;

4) $\sqrt{3.6 \cdot 810}$;

5) $\sqrt{275625}$;

6) $\sqrt{331776}$;

7) $\sqrt{45 \cdot 80 \cdot 0.16}$;

8) $\sqrt{98 \cdot 24 \cdot 27}$.

1) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{360 \cdot 490} $ воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $. Разложим подкоренные множители на удобные сомножители, которые являются полными квадратами.

$ \sqrt{360 \cdot 490} = \sqrt{(36 \cdot 10) \cdot (49 \cdot 10)} = \sqrt{36 \cdot 49 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{36 \cdot 49 \cdot 100} $

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$ \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{100} = 6 \cdot 7 \cdot 10 = 420 $

Ответ: 420

2) Разложим числа под корнем на множители, чтобы выделить полные квадраты.

$ \sqrt{32 \cdot 72} = \sqrt{(16 \cdot 2) \cdot (36 \cdot 2)} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 4} $

Используя свойство $ \sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $, получаем:

$ \sqrt{16} \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48 $

Ответ: 48

3) Вычислим произведение под корнем, чтобы упростить извлечение корня.

$ 125 \cdot 80 = 125 \cdot 8 \cdot 10 = 1000 \cdot 10 = 10000 $

Теперь извлечем корень из полученного числа:

$ \sqrt{10000} = \sqrt{100^2} = 100 $

Ответ: 100

4) Преобразуем десятичную дробь в произведение, чтобы избавиться от запятой под корнем.

$ \sqrt{3,6 \cdot 810} = \sqrt{(36 \cdot 0,1) \cdot (81 \cdot 10)} = \sqrt{36 \cdot 81 \cdot (0,1 \cdot 10)} $

Так как $ 0,1 \cdot 10 = 1 $, выражение упрощается до:

$ \sqrt{36 \cdot 81} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{81} = 6 \cdot 9 = 54 $

Ответ: 54

5) Для извлечения корня из большого числа $ \sqrt{275625} $ можно использовать его свойства. Поскольку число заканчивается на 25, его корень должен заканчиваться на 5. Это значит, что корень имеет вид $ 10a + 5 $. Квадрат такого числа равен $ (10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a+1) + 25 $.

В нашем случае $ 100a(a+1) + 25 = 275625 $. Отсюда $ a(a+1) = 2756 $.

Нам нужно найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 2756. Оценим значение $ a $: $ a \approx \sqrt{2756} $. Так как $ 50^2 = 2500 $, значение $ a $ близко к 50. Проверим $ a = 52 $:

$ 52 \cdot 53 = 2756 $.

Значит, $ a = 52 $. Искомый корень равен $ 10 \cdot 52 + 5 = 525 $.

Ответ: 525

6) Чтобы найти $ \sqrt{331776} $, оценим его величину. $ 500^2 = 250000 $ и $ 600^2 = 360000 $. Значит, корень находится между 500 и 600. Число 331776 оканчивается на 6, следовательно, его корень должен оканчиваться на 4 или 6.

Уточним оценку: $ 570^2 = 324900 $, а $ 580^2 = 336400 $. Корень находится между 570 и 580. Возможные варианты: 574 или 576.

Проверим 576:

$ 576^2 = (570+6)^2 = 570^2 + 2 \cdot 570 \cdot 6 + 6^2 = 324900 + 6840 + 36 = 331776 $.

Значит, $ \sqrt{331776} = 576 $.

Ответ: 576

7) Сгруппируем множители под корнем для удобства вычисления.

$ \sqrt{45 \cdot 80 \cdot 0,16} = \sqrt{(45 \cdot 80) \cdot 0,16} $

Сначала вычислим произведение в скобках:

$ 45 \cdot 80 = 3600 $

Теперь подставим результат обратно в выражение:

$ \sqrt{3600 \cdot 0,16} = \sqrt{3600} \cdot \sqrt{0,16} = 60 \cdot 0,4 = 24 $

Ответ: 24

8) Для вычисления $ \sqrt{98 \cdot 24 \cdot 27} $ разложим каждое число под корнем на простые множители, чтобы найти полные квадраты.

$ 98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2 $

$ 24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3 $

$ 27 = 3^3 $

Перемножим эти разложения под корнем:

$ \sqrt{(2 \cdot 7^2) \cdot (3 \cdot 2^3) \cdot (3^3)} = \sqrt{2^{1+3} \cdot 3^{1+3} \cdot 7^2} = \sqrt{2^4 \cdot 3^4 \cdot 7^2} $

Используем свойство степеней $ \sqrt{a^{2n}} = a^n $:

$ \sqrt{(2^2)^2 \cdot (3^2)^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 $

Вычислим полученное выражение:

$ 4 \cdot 9 \cdot 7 = 36 \cdot 7 = 252 $

Ответ: 252