Номер 2.21, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.21. Докажите тождество:

1) $\frac{x}{x - y} + \frac{3x}{x + y} - \frac{2xy}{x^2 - y^2} = \frac{4x}{x + y}$;

2) $\left( \frac{x^2}{x^2 - 4} - \frac{x}{x - 2} - \frac{2}{x + 2} \right) : \left( - \frac{4}{x^2 - 4} \right) = x - 1.$

1) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть уравнения и покажем, что она равна правой части.

Левая часть уравнения: $\frac{x}{x-y} + \frac{3x}{x+y} - \frac{2xy}{x^2-y^2}$.

Заметим, что знаменатель третьей дроби является разностью квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Это и будет общим знаменателем для всех трех дробей.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y)$:

$\frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)} + \frac{3x(x-y)}{(x+y)(x-y)} - \frac{2xy}{(x-y)(x+y)}$

Теперь сложим и вычтем числители, оставив общий знаменатель:

$\frac{x(x+y) + 3x(x-y) - 2xy}{(x-y)(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 + xy + 3x^2 - 3xy - 2xy}{(x-y)(x+y)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(x^2 + 3x^2) + (xy - 3xy - 2xy)}{(x-y)(x+y)} = \frac{4x^2 - 4xy}{(x-y)(x+y)}$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки в числителе:

$\frac{4x(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$, при условии что $x \neq y$:

$\frac{4x}{x+y}$

Полученное выражение равно правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества $\frac{x}{x-y} + \frac{3x}{x+y} - \frac{2xy}{x^2-y^2}$ после преобразований равна правой части $\frac{4x}{x+y}$, что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать тождество, мы выполним действия в левой части уравнения по порядку.

Сначала упростим выражение в первых скобках: $\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2}$.

Знаменатель первой дроби $x^2-4$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Этот знаменатель будет общим для всех трех дробей.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{x^2}{(x-2)(x+2)} - \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}$

Объединим дроби:

$\frac{x^2 - x(x+2) - 2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 - (x^2 + 2x) - (2x - 4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 - x^2 - 2x - 2x + 4}{(x-2)(x+2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-4x + 4}{(x-2)(x+2)} = \frac{-4(x-1)}{x^2-4}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{-4(x-1)}{x^2-4} : \left(-\frac{4}{x^2-4}\right) = \frac{-4(x-1)}{x^2-4} \cdot \left(-\frac{x^2-4}{4}\right)$

Выполним умножение и сокращение. Произведение двух отрицательных выражений положительно.

$\frac{4(x-1)(x^2-4)}{4(x^2-4)}$

Сократим общие множители $4$ и $(x^2-4)$, при условии что $x \neq \pm2$:

$x-1$

Полученное выражение равно правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества $\left(\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2}\right) : \left(-\frac{4}{x^2-4}\right)$ после преобразований равна правой части $x-1$, что и требовалось доказать.