Номер 2.18, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.18. При каких значениях a имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{2 - a}$;

2) $\frac{2}{a-4}$;

3) $\sqrt{3a - 13}$;

4) $\frac{a+3}{(a+2)(3-2a)}$;

5) $\frac{2}{\sqrt{a-3}}$?

1) Выражение $\sqrt{2 - a}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
Составим и решим неравенство:
$2 - a \ge 0$
Перенесем $a$ в правую часть:
$2 \ge a$, или $a \le 2$.
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, не превышающих 2.
Ответ: $a \le 2$.

2) Выражение $\frac{2}{a-4}$ является дробью. Дробное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значение $a$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$a - 4 = 0$
$a = 4$
Следовательно, чтобы выражение имело смысл, $a$ не должно быть равно 4.
Ответ: $a \ne 4$.

3) Выражение $\sqrt{3a - 13}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Составим и решим неравенство:
$3a - 13 \ge 0$
$3a \ge 13$
$a \ge \frac{13}{3}$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, которые больше или равны $\frac{13}{3}$.
Ответ: $a \ge \frac{13}{3}$.

4) Выражение $\frac{a+3}{(a+2)(3-2a)}$ является дробью и имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $a$:
$(a+2)(3-2a) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$a + 2 = 0$ или $3 - 2a = 0$
$a = -2$ или $-2a = -3$
$a = -2$ или $a = \frac{3}{2}$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $a = -2$ и $a = \frac{3}{2}$.
Ответ: $a \ne -2$ и $a \ne \frac{3}{2}$.

5) Выражение $\frac{2}{\sqrt{a-3}}$ содержит корень в знаменателе. Чтобы выражение имело смысл, необходимо выполнение двух условий:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a-3 \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{a-3} \ne 0$, что эквивалентно $a-3 \ne 0$.
Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
Составим и решим строгое неравенство:
$a - 3 > 0$
$a > 3$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, строго больших 3.
Ответ: $a > 3$.