Номер 2.19, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.19. Упростите выражение:

1) $(0,1y^{-3})^{-2} \cdot \frac{(a^{-3} \cdot y^{4})^{3}}{(a^{-2})^{3} \cdot y^{18}}$;

2) $\frac{(a^{3} \cdot y^{-3})^{2}}{(a^{2})^{3} \cdot y^{8}} \cdot 4y^{4}a^{4}$;

3) $\frac{(5^{3} \cdot x^{4})^{-2}}{(5^{2})^{-2} \cdot x^{-10}} : \frac{5^{2}}{x^{-2}} \cdot 2^{3}.$

1) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней: $(ab)^n = a^n b^n$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Исходное выражение: $(0,1y^{-3})^{-2} \cdot \frac{(a^{-3} \cdot y^4)^3}{(a^{-2})^3 \cdot y^{18}}$
Сначала упростим каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $(0,1y^{-3})^{-2} = (10^{-1}y^{-3})^{-2} = (10^{-1})^{-2} \cdot (y^{-3})^{-2} = 10^{(-1) \cdot (-2)} \cdot y^{(-3) \cdot (-2)} = 10^2y^6 = 100y^6$.
Второй множитель (дробь): $\frac{(a^{-3} \cdot y^4)^3}{(a^{-2})^3 \cdot y^{18}} = \frac{(a^{-3})^3 \cdot (y^4)^3}{(a^{-2})^3 \cdot y^{18}} = \frac{a^{-9}y^{12}}{a^{-6}y^{18}}$.
Упростим полученную дробь: $a^{-9 - (-6)} \cdot y^{12-18} = a^{-3}y^{-6}$.
Теперь перемножим результаты: $100y^6 \cdot a^{-3}y^{-6} = 100a^{-3} \cdot y^{6+(-6)} = 100a^{-3}y^0 = 100a^{-3}$.
Ответ: $100a^{-3}$.

2) Упростим выражение $\frac{(a^3 \cdot y^{-3})^2}{(a^2)^3 \cdot y^8} \cdot 4y^4a^4$ по частям.
Сначала преобразуем дробь: $\frac{(a^3 \cdot y^{-3})^2}{(a^2)^3 \cdot y^8} = \frac{a^{3 \cdot 2} \cdot y^{-3 \cdot 2}}{a^{2 \cdot 3} \cdot y^8} = \frac{a^6y^{-6}}{a^6y^8}$.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^{6-6} \cdot y^{-6-8} = a^0y^{-14} = y^{-14}$.
Теперь умножим полученный результат на оставшуюся часть выражения: $y^{-14} \cdot 4y^4a^4$.
Сгруппируем множители и применим правило умножения степеней: $4a^4 \cdot y^{-14}y^4 = 4a^4y^{-14+4} = 4a^4y^{-10}$.
Ответ: $4a^4y^{-10}$.

3) Упростим выражение $\frac{(5^3 \cdot x^4)^{-2}}{(5^2)^{-2} \cdot x^{-10}} \div \frac{5^2}{x^{-2}} \cdot 2^3$, соблюдая порядок действий.
Заменим деление на умножение на обратную дробь: $\frac{(5^3 \cdot x^4)^{-2}}{(5^2)^{-2} \cdot x^{-10}} \cdot \frac{x^{-2}}{5^2} \cdot 2^3$.
Раскроем скобки, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $\frac{5^{-6}x^{-8}}{5^{-4}x^{-10}} \cdot \frac{x^{-2}}{5^2} \cdot 8$.
Объединим все множители, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями: $\frac{8 \cdot 5^{-6} \cdot x^{-8} \cdot x^{-2}}{5^{-4} \cdot 5^2 \cdot x^{-10}}$.
Выполним действия с показателями степеней: $\frac{8 \cdot 5^{-6} \cdot x^{-8-2}}{5^{-4+2} \cdot x^{-10}} = \frac{8 \cdot 5^{-6} \cdot x^{-10}}{5^{-2} \cdot x^{-10}}$.
Сократим $x^{-10}$ и упростим выражение со степенями числа 5: $8 \cdot 5^{-6 - (-2)} = 8 \cdot 5^{-6+2} = 8 \cdot 5^{-4} = 8 \cdot \frac{1}{5^4} = \frac{8}{625}$.
Ответ: $\frac{8}{625}$.