Страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.18. При каких значениях a имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{2 - a}$;

2) $\frac{2}{a-4}$;

3) $\sqrt{3a - 13}$;

4) $\frac{a+3}{(a+2)(3-2a)}$;

5) $\frac{2}{\sqrt{a-3}}$?

1) Выражение $\sqrt{2 - a}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
Составим и решим неравенство:
$2 - a \ge 0$
Перенесем $a$ в правую часть:
$2 \ge a$, или $a \le 2$.
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, не превышающих 2.
Ответ: $a \le 2$.

2) Выражение $\frac{2}{a-4}$ является дробью. Дробное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значение $a$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$a - 4 = 0$
$a = 4$
Следовательно, чтобы выражение имело смысл, $a$ не должно быть равно 4.
Ответ: $a \ne 4$.

3) Выражение $\sqrt{3a - 13}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Составим и решим неравенство:
$3a - 13 \ge 0$
$3a \ge 13$
$a \ge \frac{13}{3}$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, которые больше или равны $\frac{13}{3}$.
Ответ: $a \ge \frac{13}{3}$.

4) Выражение $\frac{a+3}{(a+2)(3-2a)}$ является дробью и имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $a$:
$(a+2)(3-2a) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$a + 2 = 0$ или $3 - 2a = 0$
$a = -2$ или $-2a = -3$
$a = -2$ или $a = \frac{3}{2}$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $a = -2$ и $a = \frac{3}{2}$.
Ответ: $a \ne -2$ и $a \ne \frac{3}{2}$.

5) Выражение $\frac{2}{\sqrt{a-3}}$ содержит корень в знаменателе. Чтобы выражение имело смысл, необходимо выполнение двух условий:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a-3 \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{a-3} \ne 0$, что эквивалентно $a-3 \ne 0$.
Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
Составим и решим строгое неравенство:
$a - 3 > 0$
$a > 3$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, строго больших 3.
Ответ: $a > 3$.

2.19. Упростите выражение:

1) $(0,1y^{-3})^{-2} \cdot \frac{(a^{-3} \cdot y^{4})^{3}}{(a^{-2})^{3} \cdot y^{18}}$;

2) $\frac{(a^{3} \cdot y^{-3})^{2}}{(a^{2})^{3} \cdot y^{8}} \cdot 4y^{4}a^{4}$;

3) $\frac{(5^{3} \cdot x^{4})^{-2}}{(5^{2})^{-2} \cdot x^{-10}} : \frac{5^{2}}{x^{-2}} \cdot 2^{3}.$

1) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней: $(ab)^n = a^n b^n$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Исходное выражение: $(0,1y^{-3})^{-2} \cdot \frac{(a^{-3} \cdot y^4)^3}{(a^{-2})^3 \cdot y^{18}}$
Сначала упростим каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $(0,1y^{-3})^{-2} = (10^{-1}y^{-3})^{-2} = (10^{-1})^{-2} \cdot (y^{-3})^{-2} = 10^{(-1) \cdot (-2)} \cdot y^{(-3) \cdot (-2)} = 10^2y^6 = 100y^6$.
Второй множитель (дробь): $\frac{(a^{-3} \cdot y^4)^3}{(a^{-2})^3 \cdot y^{18}} = \frac{(a^{-3})^3 \cdot (y^4)^3}{(a^{-2})^3 \cdot y^{18}} = \frac{a^{-9}y^{12}}{a^{-6}y^{18}}$.
Упростим полученную дробь: $a^{-9 - (-6)} \cdot y^{12-18} = a^{-3}y^{-6}$.
Теперь перемножим результаты: $100y^6 \cdot a^{-3}y^{-6} = 100a^{-3} \cdot y^{6+(-6)} = 100a^{-3}y^0 = 100a^{-3}$.
Ответ: $100a^{-3}$.

2) Упростим выражение $\frac{(a^3 \cdot y^{-3})^2}{(a^2)^3 \cdot y^8} \cdot 4y^4a^4$ по частям.
Сначала преобразуем дробь: $\frac{(a^3 \cdot y^{-3})^2}{(a^2)^3 \cdot y^8} = \frac{a^{3 \cdot 2} \cdot y^{-3 \cdot 2}}{a^{2 \cdot 3} \cdot y^8} = \frac{a^6y^{-6}}{a^6y^8}$.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^{6-6} \cdot y^{-6-8} = a^0y^{-14} = y^{-14}$.
Теперь умножим полученный результат на оставшуюся часть выражения: $y^{-14} \cdot 4y^4a^4$.
Сгруппируем множители и применим правило умножения степеней: $4a^4 \cdot y^{-14}y^4 = 4a^4y^{-14+4} = 4a^4y^{-10}$.
Ответ: $4a^4y^{-10}$.

3) Упростим выражение $\frac{(5^3 \cdot x^4)^{-2}}{(5^2)^{-2} \cdot x^{-10}} \div \frac{5^2}{x^{-2}} \cdot 2^3$, соблюдая порядок действий.
Заменим деление на умножение на обратную дробь: $\frac{(5^3 \cdot x^4)^{-2}}{(5^2)^{-2} \cdot x^{-10}} \cdot \frac{x^{-2}}{5^2} \cdot 2^3$.
Раскроем скобки, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $\frac{5^{-6}x^{-8}}{5^{-4}x^{-10}} \cdot \frac{x^{-2}}{5^2} \cdot 8$.
Объединим все множители, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями: $\frac{8 \cdot 5^{-6} \cdot x^{-8} \cdot x^{-2}}{5^{-4} \cdot 5^2 \cdot x^{-10}}$.
Выполним действия с показателями степеней: $\frac{8 \cdot 5^{-6} \cdot x^{-8-2}}{5^{-4+2} \cdot x^{-10}} = \frac{8 \cdot 5^{-6} \cdot x^{-10}}{5^{-2} \cdot x^{-10}}$.
Сократим $x^{-10}$ и упростим выражение со степенями числа 5: $8 \cdot 5^{-6 - (-2)} = 8 \cdot 5^{-6+2} = 8 \cdot 5^{-4} = 8 \cdot \frac{1}{5^4} = \frac{8}{625}$.
Ответ: $\frac{8}{625}$.

2.20. В трех аулах проживают 6 000 человек. Во втором ауле вдвое больше жителей, чем в первом, в третьем — на 400 жителей меньше, чем во втором. Сколько процентов жителей проживают в каждом ауле от общего числа жителей этих трех аулов?

Для решения задачи сначала найдем количество жителей в каждом ауле. Обозначим количество жителей в первом ауле через $x$.

Согласно условию задачи:

• В первом ауле проживает $x$ жителей.

• Во втором ауле проживает вдвое больше, чем в первом, то есть $2x$ жителей.

• В третьем ауле проживает на 400 жителей меньше, чем во втором, то есть $2x - 400$ жителей.

Общее число жителей в трех аулах составляет 6000 человек. Составим уравнение, сложив число жителей в каждом ауле:

$x + 2x + (2x - 400) = 6000$

Теперь решим это уравнение:

$5x - 400 = 6000$

$5x = 6000 + 400$

$5x = 6400$

$x = \frac{6400}{5}$

$x = 1280$

Мы нашли, что в первом ауле проживает 1280 жителей. Теперь можем найти количество жителей в остальных аулах:

• Жители первого аула: 1280 человек.

• Жители второго аула: $2 \times 1280 = 2560$ человек.

• Жители третьего аула: $2560 - 400 = 2160$ человек.

Проверим: $1280 + 2560 + 2160 = 6000$ человек. Расчеты верны.

Далее найдем, какой процент от общего числа жителей составляет население каждого аула. Общее число жителей (6000) принимаем за 100%.

Процент жителей в первом ауле

Чтобы найти процент, разделим количество жителей в ауле на общее количество и умножим на 100%.

$\frac{1280}{6000} \times 100\% = \frac{128}{60} \times 10\% = \frac{128}{6}\% = \frac{64}{3}\% = 21\frac{1}{3}\%$

Ответ: $21\frac{1}{3}\%$.

Процент жителей во втором ауле

Аналогично рассчитаем процент для второго аула:

$\frac{2560}{6000} \times 100\% = \frac{256}{60} \times 10\% = \frac{256}{6}\% = \frac{128}{3}\% = 42\frac{2}{3}\%$

Ответ: $42\frac{2}{3}\%$.

Процент жителей в третьем ауле

И для третьего аула:

$\frac{2160}{6000} \times 100\% = \frac{216}{60} \times 10\% = \frac{216}{6}\% = 36\%$

Ответ: $36\%$.