Страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.8. Разложите на множители выражение:

1) $x^2 - 4a^2;$

2) $-15x^2 + 15;$

3) $\frac{a^2}{25} - \frac{c^2}{49}.$

1) Для разложения выражения $x^2 - 4a^2$ на множители используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае первый член выражения это $x^2$, значит $A = x$.
Второй член выражения это $4a^2$, который можно представить в виде квадрата $(2a)^2$, значит $B = 2a$.
Применяя формулу, получаем:
$x^2 - (2a)^2 = (x - 2a)(x + 2a)$.
Ответ: $(x - 2a)(x + 2a)$.

2) Сначала вынесем общий множитель за скобки. В выражении $-15x^2 + 15$ общим множителем является $15$ или $-15$. Вынесем $-15$, чтобы получить в скобках разность квадратов с положительным первым членом.
$-15x^2 + 15 = -15(x^2 - 1)$.
Теперь выражение в скобках, $x^2 - 1$, можно разложить по формуле разности квадратов, где $A=x$ и $B=1$.
$x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставляем это разложение в исходное выражение:
$-15(x - 1)(x + 1)$.
Ответ: $-15(x - 1)(x + 1)$.

3) Выражение $\frac{a^2}{25} - \frac{c^2}{49}$ также представляет собой разность квадратов.
Представим каждый член дроби в виде квадрата некоторого выражения:
$\frac{a^2}{25} = \left(\frac{a}{5}\right)^2$
$\frac{c^2}{49} = \left(\frac{c}{7}\right)^2$
Теперь применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = \frac{a}{5}$ и $B = \frac{c}{7}$.
$\left(\frac{a}{5}\right)^2 - \left(\frac{c}{7}\right)^2 = \left(\frac{a}{5} - \frac{c}{7}\right)\left(\frac{a}{5} + \frac{c}{7}\right)$.
Ответ: $\left(\frac{a}{5} - \frac{c}{7}\right)\left(\frac{a}{5} + \frac{c}{7}\right)$.

1.9. Решите графическим способом систему уравнений:

1)

$\begin{cases} 3x + y = 5, \\ y = x^2; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} -3x + y = 4, \\ y = x^3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} y - 5x = -2, \\ y = x^3; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 3x - 2y = 6, \\ y = -x^2. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений $\begin{cases} 3x + y = 5, \\ y = x^2. \end{cases}$

Для этого построим графики каждой из функций в одной системе координат.
Первое уравнение $3x + y = 5$ является линейным. Выразим $y$ через $x$: $y = -3x + 5$. Графиком этого уравнения является прямая. Для построения прямой найдем координаты двух точек:
- при $x=0$, $y=5$;
- при $x=2$, $y=-1$.
Второе уравнение $y = x^2$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
Построим графики и найдем точки их пересечения.

Графики пересекаются в двух точках. Так как точки пересечения не находятся на узлах координатной сетки, их координаты можно определить лишь приблизительно.
Ответ: $(-4.2, 17.6)$, $(1.2, 1.4)$.

2) Решим систему уравнений $\begin{cases} -3x + y = 4, \\ y = x^3. \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 3x + 4$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки:
- при $x=0, y=4$;
- при $x=-1, y=1$.
Второе уравнение $y = x^3$ — это кубическая парабола. Построим ее по точкам: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.
Построим графики в одной системе координат.

Графики пересекаются в одной точке, координаты которой можно определить по графику лишь приблизительно.
Ответ: $(2.2, 10.6)$.

3) Решим систему уравнений $\begin{cases} y - 5x = -2, \\ y = x^3. \end{cases}$

Из первого уравнения выражаем $y$: $y = 5x - 2$. Это прямая. Для построения найдем две точки:
- при $x=0, y=-2$;
- при $x=1, y=3$.
График второго уравнения $y=x^3$ — кубическая парабола.
Построим графики в одной системе координат.

Графики пересекаются в трех точках. Одна из точек пересечения имеет целочисленные координаты $(2, 8)$. Координаты двух других точек можно определить приблизительно.
Ответ: $(2, 8)$, $(0.4, 0)$, $(-2.4, -14.1)$.

4) Решим систему уравнений $\begin{cases} 3x - 2y = 6, \\ y = -x^2. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $-2y = -3x + 6$, откуда $y = \frac{3}{2}x - 3$, или $y = 1.5x - 3$. Это линейная функция, график — прямая. Для построения найдем две точки:
- при $x=0, y=-3$;
- при $x=2, y=0$.
Второе уравнение $y = -x^2$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз.
Построим графики в одной системе координат.

Графики пересекаются в двух точках, ни одна из которых не лежит на узлах координатной сетки. Определим их координаты приблизительно по графику.
Ответ: $(1.1, -1.3)$, $(-2.6, -7.0)$.

1.10. Докажите тождество:

1) $\left(a - 1 + \frac{1}{1 - a}\right) \cdot \frac{a^2 - a}{(2 - a)^2} = \frac{a^2}{a - 2};$

2) $\left(\frac{x + y}{y} - \frac{x}{x + y}\right) : \left(\frac{x + y}{x} - \frac{y}{x + y}\right) = \frac{x}{y}.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю. Заметим, что $1-a = -(a-1)$.

$ a - 1 + \frac{1}{1-a} = (a - 1) - \frac{1}{a-1} = \frac{(a-1)(a-1)}{a-1} - \frac{1}{a-1} = \frac{(a-1)^2 - 1}{a-1} $

Применив в числителе формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$, получим:

$ \frac{(a-1-1)(a-1+1)}{a-1} = \frac{(a-2)a}{a-1} $

Теперь преобразуем второй множитель, вынеся $a$ за скобки в числителе и используя то, что $(2-a)^2 = (a-2)^2$.

$ \frac{a^2 - a}{(2-a)^2} = \frac{a(a-1)}{(a-2)^2} $

Далее, перемножим полученные выражения:

$ \frac{a(a-2)}{a-1} \cdot \frac{a(a-1)}{(a-2)^2} = \frac{a(a-2) \cdot a(a-1)}{(a-1) \cdot (a-2)^2} $

После сокращения общих множителей $(a-1)$ и $(a-2)$ имеем:

$ \frac{a \cdot a}{a-2} = \frac{a^2}{a-2} $

Левая часть тождества после преобразований равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в первых скобках (делимое), приведя дроби к общему знаменателю $y(x+y)$.

$ \frac{x+y}{y} - \frac{x}{x+y} = \frac{(x+y)(x+y)}{y(x+y)} - \frac{x \cdot y}{y(x+y)} = \frac{(x+y)^2 - xy}{y(x+y)} $

Раскрыв скобки в числителе, получим:

$ \frac{x^2 + 2xy + y^2 - xy}{y(x+y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{y(x+y)} $

Затем упростим выражение во вторых скобках (делитель), приведя дроби к общему знаменателю $x(x+y)$.

$ \frac{x+y}{x} - \frac{y}{x+y} = \frac{(x+y)(x+y)}{x(x+y)} - \frac{y \cdot x}{x(x+y)} = \frac{(x+y)^2 - xy}{x(x+y)} $

Раскрыв скобки в числителе, получим:

$ \frac{x^2 + 2xy + y^2 - xy}{x(x+y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x(x+y)} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{x^2 + xy + y^2}{y(x+y)} : \frac{x^2 + xy + y^2}{x(x+y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{y(x+y)} \cdot \frac{x(x+y)}{x^2 + xy + y^2} $

После сокращения общих множителей $(x^2 + xy + y^2)$ и $(x+y)$ имеем:

$ \frac{\cancel{x^2 + xy + y^2}}{y(\cancel{x+y})} \cdot \frac{x(\cancel{x+y})}{\cancel{x^2 + xy + y^2}} = \frac{x}{y} $

Левая часть тождества после преобразований равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

1.11. Округлите числа: 23,467 26; -59,439 33; 0,067 45; 52,507 38

1) до десятых;

2) до сотых;

3) до тысячных;

4) до десятитысячных.

Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда (знака после запятой), необходимо отбросить все цифры, стоящие правее этого разряда. При этом нужно обратить внимание на первую из отбрасываемых цифр:
- если она равна 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя из оставляемых цифр не изменяется;
- если она равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя из оставляемых цифр увеличивается на единицу.

1) до десятых:
Округляем до первого знака после запятой, смотрим на вторую цифру после запятой.
- Для числа $23,46726$: вторая цифра после запятой 6. Так как $6 \ge 5$, округляем разряд десятых в большую сторону: $23,46726 \approx 23,5$.
- Для числа $-59,43933$: вторая цифра 3. Так как $3 < 5$, оставляем разряд десятых без изменений: $-59,43933 \approx -59,4$.
- Для числа $0,06745$: вторая цифра 6. Так как $6 \ge 5$, округляем разряд десятых в большую сторону: $0,06745 \approx 0,1$.
- Для числа $52,50738$: вторая цифра 0. Так как $0 < 5$, оставляем разряд десятых без изменений: $52,50738 \approx 52,5$.
Ответ: $23,5; -59,4; 0,1; 52,5.$

2) до сотых:
Округляем до второго знака после запятой, смотрим на третью цифру после запятой.
- Для числа $23,46726$: третья цифра 7. Так как $7 \ge 5$, округляем разряд сотых в большую сторону: $23,46726 \approx 23,47$.
- Для числа $-59,43933$: третья цифра 9. Так как $9 \ge 5$, округляем разряд сотых в большую сторону: $-59,43933 \approx -59,44$.
- Для числа $0,06745$: третья цифра 7. Так как $7 \ge 5$, округляем разряд сотых в большую сторону: $0,06745 \approx 0,07$.
- Для числа $52,50738$: третья цифра 7. Так как $7 \ge 5$, округляем разряд сотых в большую сторону: $52,50738 \approx 52,51$.
Ответ: $23,47; -59,44; 0,07; 52,51.$

3) до тысячных:
Округляем до третьего знака после запятой, смотрим на четвертую цифру после запятой.
- Для числа $23,46726$: четвертая цифра 2. Так как $2 < 5$, оставляем разряд тысячных без изменений: $23,46726 \approx 23,467$.
- Для числа $-59,43933$: четвертая цифра 3. Так как $3 < 5$, оставляем разряд тысячных без изменений: $-59,43933 \approx -59,439$.
- Для числа $0,06745$: четвертая цифра 4. Так как $4 < 5$, оставляем разряд тысячных без изменений: $0,06745 \approx 0,067$.
- Для числа $52,50738$: четвертая цифра 3. Так как $3 < 5$, оставляем разряд тысячных без изменений: $52,50738 \approx 52,507$.
Ответ: $23,467; -59,439; 0,067; 52,507.$

4) до десятитысячных:
Округляем до четвертого знака после запятой, смотрим на пятую цифру после запятой.
- Для числа $23,46726$: пятая цифра 6. Так как $6 \ge 5$, округляем разряд десятитысячных в большую сторону: $23,46726 \approx 23,4673$.
- Для числа $-59,43933$: пятая цифра 3. Так как $3 < 5$, оставляем разряд десятитысячных без изменений: $-59,43933 \approx -59,4393$.
- Для числа $0,06745$: пятая цифра 5. Так как $5 \ge 5$, округляем разряд десятитысячных в большую сторону: $0,06745 \approx 0,0675$.
- Для числа $52,50738$: пятая цифра 8. Так как $8 \ge 5$, округляем разряд десятитысячных в большую сторону: $52,50738 \approx 52,5074$.
Ответ: $23,4673; -59,4393; 0,0675; 52,5074.$

1.12. Найдите корни уравнения:

1) $x^2 - 0,16 = 0;$

2) $x^2 + 10 = 0;$

3) $4x^2 - 25 = 0:$

4) $4x^2 - \frac{4}{9} = 0.$

1) $x^2 - 0,16 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 0,16$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что у уравнения будет два корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{0,16}$

$x_1 = 0,4$

$x_2 = -0,4$

Также это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - (0,4)^2 = 0$

$(x - 0,4)(x + 0,4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 0,4 = 0$ или $x + 0,4 = 0$

$x_1 = 0,4$ или $x_2 = -0,4$

Ответ: $-0,4; 0,4$.

2) $x^2 + 10 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = -10$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). В левой части уравнения стоит $x^2$, что не может быть отрицательным. В правой части стоит отрицательное число $-10$. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: корней нет.

3) $4x^2 - 25 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть и выразим $x^2$:

$4x^2 = 25$

$x^2 = \frac{25}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{25}{4}}$

$x = \pm\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

$x = \pm\frac{5}{2}$

$x_1 = 2,5$

$x_2 = -2,5$

Используя формулу разности квадратов:

$(2x)^2 - 5^2 = 0$

$(2x - 5)(2x + 5) = 0$

$2x - 5 = 0$ или $2x + 5 = 0$

$2x = 5$ или $2x = -5$

$x_1 = \frac{5}{2} = 2,5$ или $x_2 = -\frac{5}{2} = -2,5$

Ответ: $-2,5; 2,5$.

4) $4x^2 - \frac{4}{9} = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$4x^2 = \frac{4}{9}$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы выразить $x^2$:

$x^2 = \frac{4}{9 \cdot 4}$

$x^2 = \frac{1}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$

$x = \pm\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

$x_1 = \frac{1}{3}$

$x_2 = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

1.13. Установите, равны ли значения числовых выражений:

1) $(1,3)^2$ и $(-1,3)^2$;

2) $(-3,4)^2$ и $(3\frac{2}{5})^2$;

3) $(0,(3))^2$ и $(\frac{1}{3})^2$;

4) $(1,(1))^2$ и $(1\frac{1}{9})^2$.

1) Для сравнения значений выражений $(1,3)^2$ и $(-1,3)^2$ возведем каждое число в квадрат.

Вычислим значение первого выражения: $(1,3)^2 = 1,3 \cdot 1,3 = 1,69$.

Вычислим значение второго выражения: $(-1,3)^2 = (-1,3) \cdot (-1,3) = 1,69$.

Так как $1,69 = 1,69$, значения выражений равны. Это также следует из свойства четной степени, согласно которому $a^2 = (-a)^2$ для любого числа $a$.

Ответ: равны.

2) Сравним значения выражений $(-3,4)^2$ и $(3\frac{2}{5})^2$.

Вычислим значение первого выражения: $(-3,4)^2 = 11,56$.

Для вычисления второго выражения преобразуем смешанную дробь $3\frac{2}{5}$ в десятичную. Так как $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0,4$, то $3\frac{2}{5} = 3,4$.

Теперь вычислим значение второго выражения: $(3,4)^2 = 3,4 \cdot 3,4 = 11,56$.

Поскольку $11,56 = 11,56$, значения данных выражений равны.

Ответ: равны.

3) Сравним значения выражений $(0,(3))^2$ и $(\frac{1}{3})^2$.

Выражение $0,(3)$ представляет собой бесконечную периодическую десятичную дробь. Преобразуем ее в обыкновенную дробь. Пусть $x = 0,(3) = 0,333...$. Тогда $10x = 3,333...$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 3,333... - 0,333...$, что дает $9x = 3$. Отсюда $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, первое выражение $(0,(3))^2$ эквивалентно выражению $(\frac{1}{3})^2$. Так как оба выражения одинаковы, их значения равны.

Ответ: равны.

4) Сравним значения выражений $(1,(1))^2$ и $(1\frac{1}{9})^2$.

Преобразуем бесконечную периодическую дробь $1,(1)$ в обыкновенную. Пусть $x = 1,(1) = 1,111...$. Тогда $10x = 11,111...$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 11,111... - 1,111...$, что дает $9x = 10$. Отсюда $x = \frac{10}{9}$.

Представим полученную неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$.

Следовательно, первое выражение $(1,(1))^2$ эквивалентно второму выражению $(1\frac{1}{9})^2$. Значит, их значения равны.

Ответ: равны.