Номер 1.13, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.13. Установите, равны ли значения числовых выражений:

1) $(1,3)^2$ и $(-1,3)^2$;

2) $(-3,4)^2$ и $(3\frac{2}{5})^2$;

3) $(0,(3))^2$ и $(\frac{1}{3})^2$;

4) $(1,(1))^2$ и $(1\frac{1}{9})^2$.

1) Для сравнения значений выражений $(1,3)^2$ и $(-1,3)^2$ возведем каждое число в квадрат.

Вычислим значение первого выражения: $(1,3)^2 = 1,3 \cdot 1,3 = 1,69$.

Вычислим значение второго выражения: $(-1,3)^2 = (-1,3) \cdot (-1,3) = 1,69$.

Так как $1,69 = 1,69$, значения выражений равны. Это также следует из свойства четной степени, согласно которому $a^2 = (-a)^2$ для любого числа $a$.

Ответ: равны.

2) Сравним значения выражений $(-3,4)^2$ и $(3\frac{2}{5})^2$.

Вычислим значение первого выражения: $(-3,4)^2 = 11,56$.

Для вычисления второго выражения преобразуем смешанную дробь $3\frac{2}{5}$ в десятичную. Так как $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0,4$, то $3\frac{2}{5} = 3,4$.

Теперь вычислим значение второго выражения: $(3,4)^2 = 3,4 \cdot 3,4 = 11,56$.

Поскольку $11,56 = 11,56$, значения данных выражений равны.

Ответ: равны.

3) Сравним значения выражений $(0,(3))^2$ и $(\frac{1}{3})^2$.

Выражение $0,(3)$ представляет собой бесконечную периодическую десятичную дробь. Преобразуем ее в обыкновенную дробь. Пусть $x = 0,(3) = 0,333...$. Тогда $10x = 3,333...$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 3,333... - 0,333...$, что дает $9x = 3$. Отсюда $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, первое выражение $(0,(3))^2$ эквивалентно выражению $(\frac{1}{3})^2$. Так как оба выражения одинаковы, их значения равны.

Ответ: равны.

4) Сравним значения выражений $(1,(1))^2$ и $(1\frac{1}{9})^2$.

Преобразуем бесконечную периодическую дробь $1,(1)$ в обыкновенную. Пусть $x = 1,(1) = 1,111...$. Тогда $10x = 11,111...$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 11,111... - 1,111...$, что дает $9x = 10$. Отсюда $x = \frac{10}{9}$.

Представим полученную неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$.

Следовательно, первое выражение $(1,(1))^2$ эквивалентно второму выражению $(1\frac{1}{9})^2$. Значит, их значения равны.

Ответ: равны.