Номер 2.6, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.6. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми находится число:

1) $\sqrt{7}$

2) $\sqrt{8}$

3) $\sqrt{23}$

4) $\sqrt{227}$

5) $2 + \sqrt{14}$

1) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми находится число $ \sqrt{7} $, нужно найти такое натуральное число $n$, что выполняется неравенство $ n < \sqrt{7} < n+1 $. Возведем все части неравенства в квадрат: $ n^2 < (\sqrt{7})^2 < (n+1)^2 $, что равносильно $ n^2 < 7 < (n+1)^2 $. Найдем ближайшие к числу 7 квадраты натуральных чисел. Это $ 2^2 = 4 $ и $ 3^2 = 9 $. Таким образом, мы имеем неравенство $ 4 < 7 < 9 $, или $ 2^2 < 7 < 3^2 $. Извлекая квадратный корень из всех частей, получаем $ \sqrt{2^2} < \sqrt{7} < \sqrt{3^2} $, то есть $ 2 < \sqrt{7} < 3 $. Следовательно, число $ \sqrt{7} $ находится между числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

2) Для числа $ \sqrt{8} $ действуем аналогично. Ищем натуральное число $n$ такое, что $ n < \sqrt{8} < n+1 $. Возводим в квадрат: $ n^2 < 8 < (n+1)^2 $. Нам нужно найти два последовательных полных квадрата, между которыми находится число 8. Мы знаем, что $ 2^2 = 4 $ и $ 3^2 = 9 $. Неравенство $ 4 < 8 < 9 $ является верным. Это эквивалентно $ 2^2 < 8 < 3^2 $. Извлекая квадратный корень, получаем $ 2 < \sqrt{8} < 3 $. Таким образом, искомые числа — это 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

3) Найдем два последовательных натуральных числа, между которыми находится $ \sqrt{23} $. Запишем неравенство: $ n < \sqrt{23} < n+1 $. После возведения в квадрат получаем: $ n^2 < 23 < (n+1)^2 $. Найдем квадраты натуральных чисел, близкие к 23. $ 4^2 = 16 $ и $ 5^2 = 25 $. Получаем верное неравенство $ 16 < 23 < 25 $, или $ 4^2 < 23 < 5^2 $. Извлекая корень из всех частей, имеем $ 4 < \sqrt{23} < 5 $. Значит, число $ \sqrt{23} $ находится между числами 4 и 5.
Ответ: 4 и 5.

4) Для числа $ \sqrt{227} $ ищем натуральное число $n$, для которого $ n < \sqrt{227} < n+1 $. Возводим в квадрат: $ n^2 < 227 < (n+1)^2 $. Необходимо найти два последовательных полных квадрата, между которыми лежит 227. Оценим корень. Мы знаем, что $ 10^2=100 $, $ 20^2=400 $. Попробуем числа в этом диапазоне. $ 15^2 = 225 $, а $ 16^2 = 256 $. Мы видим, что $ 225 < 227 < 256 $, то есть $ 15^2 < 227 < 16^2 $. Извлекая квадратный корень из этого неравенства, получаем $ 15 < \sqrt{227} < 16 $. Следовательно, искомые числа — это 15 и 16.
Ответ: 15 и 16.

5) Чтобы найти два последовательных натуральных числа для $ 2 + \sqrt{14} $, сначала оценим значение $ \sqrt{14} $. Ищем натуральное число $n$ такое, что $ n < \sqrt{14} < n+1 $. Возводим в квадрат: $ n^2 < 14 < (n+1)^2 $. Ближайшие полные квадраты это $ 3^2 = 9 $ и $ 4^2 = 16 $. Таким образом, $ 9 < 14 < 16 $, что означает $ 3 < \sqrt{14} < 4 $. Теперь к каждой части этого неравенства прибавим 2: $ 3 + 2 < \sqrt{14} + 2 < 4 + 2 $. В результате получаем $ 5 < 2 + \sqrt{14} < 6 $. Это означает, что число $ 2 + \sqrt{14} $ находится между натуральными числами 5 и 6.
Ответ: 5 и 6.