Номер 2.5, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.5. Объясните, почему верно равенство: $\sqrt{(a - 2)^2} = a - 2$ при $a \ge 2$.

2.5. Для объяснения данного равенства необходимо использовать определение арифметического квадратного корня и определение модуля числа.

1. По определению, для любого действительного выражения $X$ верно тождество $\sqrt{X^2} = |X|$, где $|X|$ — это модуль (абсолютная величина) выражения $X$.

Применив это свойство к левой части равенства, где $X = a-2$, получаем:
$\sqrt{(a-2)^2} = |a-2|$

2. Далее необходимо раскрыть модуль, используя его определение:
$|y| = y$, если $y \geq 0$
$|y| = -y$, если $y < 0$

В нашем случае нужно определить знак выражения $(a-2)$. По условию задачи дано, что $a \geq 2$.

Если из обеих частей этого неравенства вычесть 2, мы получим:
$a - 2 \geq 2 - 2$
$a - 2 \geq 0$

Это означает, что выражение $(a-2)$ является неотрицательным (то есть больше или равно нулю).

3. Поскольку выражение $(a-2)$ неотрицательно, по определению модуля мы раскрываем его со знаком "плюс":
$|a-2| = a-2$

Таким образом, мы можем объединить все шаги и подтвердить исходное равенство:
$\sqrt{(a-2)^2} = |a-2| = a-2$

Равенство верно именно при условии $a \geq 2$, так как только в этом случае выражение $a-2$ неотрицательно, и его модуль равен самому выражению.

Ответ: Равенство $\sqrt{(a-2)^2} = a-2$ при $a \geq 2$ верно, потому что по свойству квадратного корня $\sqrt{X^2} = |X|$. Следовательно, $\sqrt{(a-2)^2} = |a-2|$. Из условия $a \geq 2$ следует, что $a-2 \geq 0$. Так как модуль неотрицательного числа равен самому числу, то $|a-2| = a-2$. В итоге получаем, что $\sqrt{(a-2)^2} = a-2$.