Номер 1.6, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.6. Известно, что a, b, c и d рациональные числа. Объясните, почему рациональны и числа: $a + d$; $a \cdot d$; $b : c$; $b - c$; $abc$.

Объяснение основывается на свойстве замкнутости множества рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) относительно арифметических операций. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — ненулевое целое число ($q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$). Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на ноль) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Пусть даны рациональные числа $a, b, c, d$. Представим их в виде дробей:
$a = \frac{p_1}{q_1}$, $b = \frac{p_2}{q_2}$, $c = \frac{p_3}{q_3}$, $d = \frac{p_4}{q_4}$
где $p_1, p_2, p_3, p_4$ — целые числа, а $q_1, q_2, q_3, q_4$ — целые ненулевые числа.

a + d
Сумма двух рациональных чисел $a$ и $d$ равна: $a + d = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_4}{q_4} = \frac{p_1q_4 + p_4q_1}{q_1q_4}$. Так как произведение и сумма целых чисел также являются целыми числами, то числитель $p_1q_4 + p_4q_1$ — целое число. Знаменатель $q_1q_4$ — произведение двух ненулевых целых чисел, поэтому он также является ненулевым целым числом. Следовательно, $a+d$ представимо в виде дроби, где числитель — целое, а знаменатель — ненулевое целое, а значит, является рациональным числом.
Ответ: Сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

a · d
Произведение двух рациональных чисел $a$ и $d$ равно: $a \cdot d = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_4}{q_4} = \frac{p_1p_4}{q_1q_4}$. Числитель $p_1p_4$ является целым числом (произведение целых). Знаменатель $q_1q_4$ является ненулевым целым числом. Таким образом, $a \cdot d$ является рациональным числом.
Ответ: Произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

b : c
Частное двух рациональных чисел $b$ и $c$ (при условии, что $c \neq 0$) равно: $b : c = \frac{p_2}{q_2} : \frac{p_3}{q_3} = \frac{p_2}{q_2} \cdot \frac{q_3}{p_3} = \frac{p_2q_3}{q_2p_3}$. Так как $c \neq 0$, то и его числитель $p_3 \neq 0$. Тогда числитель итоговой дроби $p_2q_3$ — целое число, а знаменатель $q_2p_3$ — ненулевое целое число (произведение двух ненулевых целых). Следовательно, $b:c$ является рациональным числом.
Ответ: Частное двух рациональных чисел (при условии, что делитель не равен нулю) является рациональным числом.

b - c
Разность двух рациональных чисел $b$ и $c$ равна: $b - c = \frac{p_2}{q_2} - \frac{p_3}{q_3} = \frac{p_2q_3 - p_3q_2}{q_2q_3}$. Числитель $p_2q_3 - p_3q_2$ является целым числом (разность произведений целых чисел). Знаменатель $q_2q_3$ является ненулевым целым числом. Следовательно, $b-c$ является рациональным числом.
Ответ: Разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

abc
Произведение трех рациональных чисел $a, b$ и $c$ равно: $abc = (\frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2}{q_2}) \cdot \frac{p_3}{q_3} = \frac{p_1p_2}{q_1q_2} \cdot \frac{p_3}{q_3} = \frac{p_1p_2p_3}{q_1q_2q_3}$. Числитель $p_1p_2p_3$ является целым числом. Знаменатель $q_1q_2q_3$ является ненулевым целым числом. Следовательно, $abc$ является рациональным числом. Это также можно объяснить последовательным применением свойства замкнутости умножения: произведение $a \cdot b$ рационально, и его произведение на $c$ также рационально.
Ответ: Произведение рациональных чисел является рациональным числом.