Номер 1.3, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.3. Запишите в виде бесконечной периодической десятичной дроби обыкновенную дробь:

1) $- \frac{2}{25}$

2) $-2\frac{12}{17}$

3) $4\frac{3}{11}$

4) $13\frac{23}{39}$

5) $18\frac{5}{12}$

6) $127\frac{12}{41}$

1) Чтобы представить обыкновенную дробь $-\frac{2}{25}$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Поскольку дробь отрицательная, мы сначала найдем десятичное представление для $\frac{2}{25}$, а затем добавим знак минус.

Выполним деление 2 на 25 в столбик:

$2 \div 25 = 0.08$
Так как 2 меньше 25, целая часть равна 0. Ставим запятую.
$20 \div 25 = 0$.
$200 \div 25 = 8$.
$200 - 200 = 0$. Деление завершено без остатка.
Мы получили конечную десятичную дробь $0.08$. Любую конечную десятичную дробь можно записать как бесконечную периодическую, добавив 0 в периоде: $0.08 = 0.08000... = 0.08(0)$.
Следовательно, $-\frac{2}{25} = -0.08(0)$.
Ответ: $-0.08(0)$.

2) Для смешанного числа $-2\frac{12}{17}$ сначала преобразуем его дробную часть $\frac{12}{17}$ в десятичную дробь, разделив 12 на 17. Целая часть -2 останется без изменений.

Выполняем деление 12 на 17 в столбик:

$12 \div 17 = 0.7058823529411764...$
$120 \div 17 = 7$ (остаток 1)
$10 \div 17 = 0$ (остаток 10)
$100 \div 17 = 5$ (остаток 15)
$150 \div 17 = 8$ (остаток 14)
$140 \div 17 = 8$ (остаток 4)
$40 \div 17 = 2$ (остаток 6)
$60 \div 17 = 3$ (остаток 9)
$90 \div 17 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 17 = 2$ (остаток 16)
$160 \div 17 = 9$ (остаток 7)
$70 \div 17 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 17 = 1$ (остаток 3)
$30 \div 17 = 1$ (остаток 13)
$130 \div 17 = 7$ (остаток 11)
$110 \div 17 = 6$ (остаток 8)
$80 \div 17 = 4$ (остаток 12)
Мы получили остаток 12, который равен исходному числителю. Это значит, что последовательность цифр начнет повторяться. Период состоит из 16 цифр: 7058823529411764.
Таким образом, $\frac{12}{17} = 0.(7058823529411764)$.
Прибавив целую часть и знак минус, получаем: $-2\frac{12}{17} = -2.(7058823529411764)$.
Ответ: $-2.(7058823529411764)$.

3) Для смешанного числа $4\frac{3}{11}$ преобразуем дробную часть $\frac{3}{11}$ в десятичную дробь. Целая часть равна 4.

Делим 3 на 11 в столбик:

$3 \div 11 = 0.2727...$
$30 \div 11 = 2$ (остаток 8)
$80 \div 11 = 7$ (остаток 3)
Остаток 3 равен исходному числителю, значит, цифры 2 и 7 будут повторяться. Период равен 27.
Следовательно, $\frac{3}{11} = 0.(27)$.
Вместе с целой частью получаем: $4\frac{3}{11} = 4.(27)$.
Ответ: $4.(27)$.

4) Для смешанного числа $13\frac{23}{39}$ преобразуем дробную часть $\frac{23}{39}$ в десятичную дробь. Целая часть равна 13.

Делим 23 на 39 в столбик:

$23 \div 39 = 0.589743...$
$230 \div 39 = 5$ (остаток 35)
$350 \div 39 = 8$ (остаток 38)
$380 \div 39 = 9$ (остаток 29)
$290 \div 39 = 7$ (остаток 17)
$170 \div 39 = 4$ (остаток 14)
$140 \div 39 = 3$ (остаток 23)
Остаток 23 равен исходному числителю, поэтому последовательность цифр 589743 будет повторяться.
Следовательно, $\frac{23}{39} = 0.(589743)$.
Вместе с целой частью получаем: $13\frac{23}{39} = 13.(589743)$.
Ответ: $13.(589743)$.

5) Для смешанного числа $18\frac{5}{12}$ преобразуем дробную часть $\frac{5}{12}$ в десятичную. Целая часть равна 18. Знаменатель $12 = 2^2 \cdot 3$ содержит множитель 3, отличный от 2 и 5, поэтому дробь будет смешанной периодической.

Делим 5 на 12 в столбик:

$5 \div 12 = 0.4166...$
$50 \div 12 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 12 = 1$ (остаток 8)
$80 \div 12 = 6$ (остаток 8)
Остаток 8 начал повторяться, следовательно, цифра 6 будет в периоде. Цифры 4 и 1, полученные до повторяющегося остатка, образуют непериодическую часть (предпериод).
Следовательно, $\frac{5}{12} = 0.41(6)$.
Вместе с целой частью получаем: $18\frac{5}{12} = 18.41(6)$.
Ответ: $18.41(6)$.

6) Для смешанного числа $127\frac{12}{41}$ преобразуем дробную часть $\frac{12}{41}$ в десятичную. Целая часть равна 127.

Делим 12 на 41 в столбик:

$12 \div 41 = 0.29268...$
$120 \div 41 = 2$ (остаток 38)
$380 \div 41 = 9$ (остаток 11)
$110 \div 41 = 2$ (остаток 28)
$280 \div 41 = 6$ (остаток 34)
$340 \div 41 = 8$ (остаток 12)
Остаток 12 равен исходному числителю, поэтому найден период дроби: 29268.
Следовательно, $\frac{12}{41} = 0.(29268)$.
Вместе с целой частью получаем: $127\frac{12}{41} = 127.(29268)$.
Ответ: $127.(29268)$.