Номер 1.8, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.8. Разложите на множители выражение:

1) $x^2 - 4a^2;$

2) $-15x^2 + 15;$

3) $\frac{a^2}{25} - \frac{c^2}{49}.$

1) Для разложения выражения $x^2 - 4a^2$ на множители используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае первый член выражения это $x^2$, значит $A = x$.
Второй член выражения это $4a^2$, который можно представить в виде квадрата $(2a)^2$, значит $B = 2a$.
Применяя формулу, получаем:
$x^2 - (2a)^2 = (x - 2a)(x + 2a)$.
Ответ: $(x - 2a)(x + 2a)$.

2) Сначала вынесем общий множитель за скобки. В выражении $-15x^2 + 15$ общим множителем является $15$ или $-15$. Вынесем $-15$, чтобы получить в скобках разность квадратов с положительным первым членом.
$-15x^2 + 15 = -15(x^2 - 1)$.
Теперь выражение в скобках, $x^2 - 1$, можно разложить по формуле разности квадратов, где $A=x$ и $B=1$.
$x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставляем это разложение в исходное выражение:
$-15(x - 1)(x + 1)$.
Ответ: $-15(x - 1)(x + 1)$.

3) Выражение $\frac{a^2}{25} - \frac{c^2}{49}$ также представляет собой разность квадратов.
Представим каждый член дроби в виде квадрата некоторого выражения:
$\frac{a^2}{25} = \left(\frac{a}{5}\right)^2$
$\frac{c^2}{49} = \left(\frac{c}{7}\right)^2$
Теперь применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = \frac{a}{5}$ и $B = \frac{c}{7}$.
$\left(\frac{a}{5}\right)^2 - \left(\frac{c}{7}\right)^2 = \left(\frac{a}{5} - \frac{c}{7}\right)\left(\frac{a}{5} + \frac{c}{7}\right)$.
Ответ: $\left(\frac{a}{5} - \frac{c}{7}\right)\left(\frac{a}{5} + \frac{c}{7}\right)$.