Номер 1.7, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.7. Докажите, что не существует рационального числа, квадрат которого равен:

1) 3;

2) 5;

3) 7.

1)

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует рациональное число $x$, квадрат которого равен 3. То есть $x^2 = 3$.

Любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель равен 1 (НОД$(p, q) = 1$).

Тогда наше предположение можно записать как: $(\frac{p}{q})^2 = 3$.

Возведем дробь в квадрат: $\frac{p^2}{q^2} = 3$.

Из этого равенства следует, что $p^2 = 3q^2$.

Это означает, что $p^2$ делится нацело на 3. Поскольку 3 — простое число, то если квадрат целого числа ($p^2$) делится на 3, то и само это число ($p$) должно делиться на 3. Таким образом, $p$ кратно 3.

Представим $p$ в виде $p = 3k$, где $k$ — некоторое целое число.

Подставим это выражение обратно в уравнение $p^2 = 3q^2$:

$(3k)^2 = 3q^2$

$9k^2 = 3q^2$

Разделим обе части уравнения на 3:

$3k^2 = q^2$

Из этого нового равенства следует, что $q^2$ также делится нацело на 3. По той же причине (так как 3 — простое число), само число $q$ должно делиться на 3.

Таким образом, мы пришли к выводу, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на 3. Это противоречит нашему первоначальному условию, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (то есть НОД$(p, q) = 1$).

Полученное противоречие доказывает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен 3.

Ответ: Доказано.

2)

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует рациональное число $x$, такое что $x^2 = 5$.

Представим $x$ в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ и НОД$(p, q) = 1$.

Тогда $(\frac{p}{q})^2 = 5$, откуда получаем $p^2 = 5q^2$.

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на 5. Так как 5 — простое число, то и само число $p$ должно делиться на 5.

Значит, $p$ можно записать как $p = 5k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это в уравнение $p^2 = 5q^2$:

$(5k)^2 = 5q^2$

$25k^2 = 5q^2$

Разделим обе части на 5:

$5k^2 = q^2$

Отсюда следует, что $q^2$ делится на 5, а значит, и $q$ делится на 5.

Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 5. Это противоречит нашему предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима.

Следовательно, исходное предположение неверно, и не существует рационального числа, квадрат которого равен 5.

Ответ: Доказано.

3)

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует рациональное число $x$, такое что $x^2 = 7$.

Представим $x$ в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ и НОД$(p, q) = 1$.

Тогда $(\frac{p}{q})^2 = 7$, откуда получаем $p^2 = 7q^2$.

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на 7. Так как 7 — простое число, то и само число $p$ должно делиться на 7.

Значит, $p$ можно записать как $p = 7k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это в уравнение $p^2 = 7q^2$:

$(7k)^2 = 7q^2$

$49k^2 = 7q^2$

Разделим обе части на 7:

$7k^2 = q^2$

Отсюда следует, что $q^2$ делится на 7, а значит, и $q$ делится на 7.

Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 7. Это противоречит нашему предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима.

Следовательно, исходное предположение неверно, и не существует рационального числа, квадрат которого равен 7.

Ответ: Доказано.