Номер 1.10, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.10. Докажите тождество:

1) $\left(a - 1 + \frac{1}{1 - a}\right) \cdot \frac{a^2 - a}{(2 - a)^2} = \frac{a^2}{a - 2};$

2) $\left(\frac{x + y}{y} - \frac{x}{x + y}\right) : \left(\frac{x + y}{x} - \frac{y}{x + y}\right) = \frac{x}{y}.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю. Заметим, что $1-a = -(a-1)$.

$ a - 1 + \frac{1}{1-a} = (a - 1) - \frac{1}{a-1} = \frac{(a-1)(a-1)}{a-1} - \frac{1}{a-1} = \frac{(a-1)^2 - 1}{a-1} $

Применив в числителе формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$, получим:

$ \frac{(a-1-1)(a-1+1)}{a-1} = \frac{(a-2)a}{a-1} $

Теперь преобразуем второй множитель, вынеся $a$ за скобки в числителе и используя то, что $(2-a)^2 = (a-2)^2$.

$ \frac{a^2 - a}{(2-a)^2} = \frac{a(a-1)}{(a-2)^2} $

Далее, перемножим полученные выражения:

$ \frac{a(a-2)}{a-1} \cdot \frac{a(a-1)}{(a-2)^2} = \frac{a(a-2) \cdot a(a-1)}{(a-1) \cdot (a-2)^2} $

После сокращения общих множителей $(a-1)$ и $(a-2)$ имеем:

$ \frac{a \cdot a}{a-2} = \frac{a^2}{a-2} $

Левая часть тождества после преобразований равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в первых скобках (делимое), приведя дроби к общему знаменателю $y(x+y)$.

$ \frac{x+y}{y} - \frac{x}{x+y} = \frac{(x+y)(x+y)}{y(x+y)} - \frac{x \cdot y}{y(x+y)} = \frac{(x+y)^2 - xy}{y(x+y)} $

Раскрыв скобки в числителе, получим:

$ \frac{x^2 + 2xy + y^2 - xy}{y(x+y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{y(x+y)} $

Затем упростим выражение во вторых скобках (делитель), приведя дроби к общему знаменателю $x(x+y)$.

$ \frac{x+y}{x} - \frac{y}{x+y} = \frac{(x+y)(x+y)}{x(x+y)} - \frac{y \cdot x}{x(x+y)} = \frac{(x+y)^2 - xy}{x(x+y)} $

Раскрыв скобки в числителе, получим:

$ \frac{x^2 + 2xy + y^2 - xy}{x(x+y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x(x+y)} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{x^2 + xy + y^2}{y(x+y)} : \frac{x^2 + xy + y^2}{x(x+y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{y(x+y)} \cdot \frac{x(x+y)}{x^2 + xy + y^2} $

После сокращения общих множителей $(x^2 + xy + y^2)$ и $(x+y)$ имеем:

$ \frac{\cancel{x^2 + xy + y^2}}{y(\cancel{x+y})} \cdot \frac{x(\cancel{x+y})}{\cancel{x^2 + xy + y^2}} = \frac{x}{y} $

Левая часть тождества после преобразований равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.